Риски транспортных предприятий

К оценке вероятностей случайного события по формулам логики (алгебры) событий прибегают тогда, когда интересующее нас случайное событие может быть логически выражено через какие-то другие случайные события, вероятности которых нам уже известны.

Наглядной формой отображения логики причин и следствий, решений и исходов при анализе рискованных ситуаций является дерево событий. Дерево решений наглядно представляет логику событий, по нему просто проследить всю технологическую цепочку риск-менеджмента. По этой причине анализ рисков с использованием дерева событий нередко называют анализом рискованной ситуации в развёрнутой форме.

Но если случайных событий и риск-мероприятий будет достаточно много, дерево решений будет весьма громоздким. В таких случаях развёрнутая форма анализа риска окажется крайне неудобной. Следовательно, если исходная информация о рискованной ситуации та же – известна и понятна логика событий, известны вероятности всех случайных событий, логически связанных с интересующим риск-аналитика, - прибегают к так называемой нормальной форме анализа. Эта форма риск-анализа и определения характеристик рискованной ситуации основана на использовании ещё одного способа определения вероятностей – вычисления по формулам с использованием алгебры событий.

Для этого вначале на основе анализа логики событий рискованного процесса формируют несколько специальных событий, а именно: «событие ИЛИ»  - это событие-следствие, которое наступает только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий-причин или все события-причины вместе);

«событие И  - это событие-следствие, которое наступает только тогда, когда наступят все события-причины;

«противоположное событие» - это событие является антиподом любого исходного события (например, событие «возврат кредита» - исходное, а «невозврат кредита» - противоположное ему и наоборот);

«условное событие» - это событие-следствие, которое наступает только тогда, когда исполняется какое-то конкретное условие.

Алгебраически «событие ИЛИ» представляют как сумму событий-причин. Например, запись А = В + С означает, что событие А (следствие) наступает только в том случае, если наступает или событие-причина В, или событие-причина С, или оба события-причины В и С вместе. «Событие И» описывают формулой произведения событий-причин вида: А = В * С. Часто знак умножения в произведении событий опускают и записывают его в виде А = ВС. «Противоположное событие» принято обозначать отрицающей чёрточкой сверху. Например, символ С̅ обозначаем событие, противоположное событию С (т.е. оно наступает только в том случае, если не наступает событие С). «Условное событие» обозначают «косой» дробью, например, записи А/В и А/С означают условное наступление события А при условии, что наступило событие В и условное наступление события А при условии, что событие С не наступило.

После того как алгебраическое выражение  для интересующего нас случайного события записано, остаётся только к каждой из частей равенства применить операцию вычисления вероятностей по соответствующим формулам. Таких формул в теории вероятности всего четыре:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ) – формула вероятности суммы событий;

Р (АВ) = Р (А) * Р (В / А) – формула вероятности произведения событий;

Р (А / В) = Р (АВ) / Р (В), Р (В) ≠ 0 – формула условной вероятности;

Р (А) = ∑ Р (А / Вḱ) * Р (Вḱ) – формула полной вероятности.

                      ḱ

Из представленных четырёх формул пояснения требует только последняя – формула полной вероятности. Она описывает ситуацию, когда событие-следствие А может наступать совместно с несколькими событиями-причинами Вḱ, ḱ = 1, 2, 3,… При этом все события Вḱ образуют так называемую полную группу событий, и этот термин означает, что одно и только одно из таких событий обязательно наступит, а совместно с ним наступит и событие А. При подобном определении событий полной группы получается, что вероятность суммы событий причин Вḱ равна единице, как вероятность достоверного события, т.е. Р (∑Вḱ) = 1,

                                                                                                    ḱ                               а все вероятности Р (ВjВj) совместного появления каких-либо из этих событий-причин равны нулю. Всё это вместе и означает, что события Вḱ образуют так называемую полную группу событий, т.е. что одно и только из таких событий обязательно наступит, а совместно с ним – наступит и интересующее нас событие.

2.2 Основные вероятностные распределения предпринимательских рисков

При проведении анализа рисков недостаточно бывает вероятностных оценок только случайных событий. Чтобы можно было сравнивать по предпочтительности (в смысле характеристик рискованности) одинаково номинированные исходы деятельности. Например, пусть для простоты у предпринимателя только три возможных способа а1, а2, и а3 получить прибыль в рискованной ситуации. Каждый из способов может привести к желаемому исходу, номинированному как «Успех предпринимательской операции», но с разными вероятностями р1, р2 и р3. Предположим для простоты, что р1 ˃ р2 ˃ р3. Означает ли получение такой информации, что предприниматель должен отдать предпочтение варианту а1 как наиболее вероятному?

Разбирающийся человек, даже не знающий всех тонкостей теории вероятностей, ответит скорее нет, чем да, т.е. не стоит бездумно бросаться задействовать альтернативу, сулящую наиболее вероятный исход, так как в бизнесе чаще всего наиболее вероятным положительным исходом является тот, который имеет наименьшую доходность. Обозначим через v (от слова value, означающего «ценность») уровень доходности. Обычно максимальную доходность можно получить только при очень малой, близкой к нулю вероятности успеха. Также практически достоверно, с вероятностью, близкой к единице, доходность в рискованной ситуации будет невелика. Для эффективных по Паретто альтернатив увеличение доходности обязательно сопровождается уменьшением вероятности успеха.

Таким образом, для выбора неразличимых на уровне анализа событий вариантов рискованных действий у предпринимателя, естественно, возникает принципиальная потребность ввести для сравнения одинаково номинированных рискованных событий, по крайней мере, два результата: величину дохода и величину вероятности получения дохода. Но поскольку у риска есть и третий аспект – убытки или потери, - аналогично рассуждая, мы приходим к выводу о необходимости и ещё одного результата, характеризующего эту сторону рискованной предпринимательской деятельности.

Но раз исходы случайные, то и результаты – случайные. Поэтому на следующем этапе анализа рисков необходимо заняться исследованием тенденций и пропорций, присущих случайным величинам результатов одинаково номинированных событий. Хорошим подспорьем к такому анализу является системное понятие лотереи, которое мы ввели, когда проводили системный анализ коммерческих и посреднических рисков. Напомним, что понятие лотереи основано на дискретном (точечном) распределении вероятностей возможных исходов (выигрышей и потерь). Это распределение характеризуется следующими элементами:

      Множеством возможных значений результатов (выигрышей и потерь);

      Значениями вероятностей для каждого из дискретных результатов.

Слово «дискретный» означает, что при розыгрыше лотереи реально можно получить только каждый конкретный из возможных результатов, и никаких промежуточных значений результата между этими дискретными реально нет. В таком случае дискретные результаты можно отобразить в виде точек на числовой оси. Другой системный тип случайных величин – «непрерывный». Непрерывные случайные величины сплошь заполняют своими значениями некоторую область возможных значений (например, числовой интервал), и реально возможно получить любое из этих значений. Поэтому непрерывные случайные величины графически отображают интервалами или областями возможных значений одномерной или многомерной системы координат.

Расширенным теоретико-вероятностным толкованием феномена лотереи является понятие вероятностного распределения случайной величины. С его помощью определяют вероятности того, что случайная величина примет те или иные свои возможные значения. Обозначим через ỹ случайную величину, а через у – её возможные значения. Тогда для дискретной случайной величины, которая может принимать возможные значения у1, у2, у3, …, уn удобной формой вероятностного распределения следует считать зависимость Р(ỹ = уk), которую обычно называют вероятностным рядом, или рядом распределения. На практике для оперативной обобщённой  оценки вероятностного распределения величин риска часто используют так называемые числовые и другие характеристики распределения случайных результатов: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации, мода, медиана и др. Иными словами, для быстрого и целостного восприятия предприниматель стремиться (или просто вынужден) обобщать реальное восприятие исходов рискованной ситуации, так сказать, релевантного риска с помощью одного или нескольких достаточно понятных ему чисел.

В общем случае три указанные характеристики распределения не совпадают. Математическое ожидание учитывает все значения случайной величины вместе с вероятностями этих значений. В этом смысле математическое ожидание перспективных значений доходности ценных бумаг может служить хорошей информацией для управления портфелем. Это обусловлено тем, что значение математического ожидания доходности всего портфеля непосредственно связано со значениями математических ожиданий доходностей каждой из ценных бумаг в портфеле (так называемое аддитивное свойство математического ожидания). В то же время необходимо постоянно помнить, что математическое ожидание может оказаться весьма неустойчивой характеристикой доходности портфеля.

Следовательно, если номинаций ценных бумаг в портфеле не очень много, а доходности каждой из номинаций существенно различаются (геометрически «точки» относят на числовой оси далеко друг от друга), то даже при одних и тех же значениях вероятностей, приписываемых этим «точкам», могут наблюдаться резкие смещения «центра тяжести» - значения математического ожидания доходности. В указанном смысле значительно более устойчивой оказывается медиана, поскольку геометрически она располагается ближе к центру группирования большинства «точек». И в силу этого, например, медиана портфеля незначительно реагирует на изменение положения «крайних»- очень малых и очень больших – значений доходности. Однако следует иметь в виду, что вычисление медианы распределения – это существенно более сложная задача по сравнению с вычислением среднего значения распределения.

Равновероятностное распределение. Случайная величина с одинаковой вероятностью принимает каждое из n своих возможных значений. Вероятности появления каждого k-го значения равны Р(ỹ= уk = k) = 1/n. Математическое ожидание и дисперсия равновероятно распределённой случайной величины равны:           n                                                                        n

             ∑ уk                                       ∑ (уk - my)2

my = k= 1                                и            Dy = k= 0 ____________            

                       n                                                                                    n            

Биномиальное распределение. Проводится n одинаковых независимых испытаний со случайным исходом. В каждом испытании какое-то событие, интересующее ЛПР, может наступить с вероятностью р, которая постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию. Подобная ситуация характерна, например, для выборочного контроля качества изделий, когда из очень большой партии готовых изделий наугад выбирают ровно n и подвергают именно их контролю, для попытки выиграть в лотерее, купив ровно n билетов, и т.п. После завершения всех испытаний фиксируют число k успешно завершившихся попыток. Это число будет одной из возможных реализаций случайной величины ỹ, которая может принимать значения от 0 до n. Вероятности того, что дискретная случайная величина ỹ примет свои возможные значения k, равны

                 Р(ỹ = k) =            n!          Р k(1 – р) n-k

                                       k! (n – k)!

где k = 0, 1, 2,…, n;

n! и k! – произведения чисел от 1 до n и от 1 до k соответственно (их называют факториалами).

Для вычисления вероятностей Р(ỹ= уk) этого ряда распределения удобно использовать функцию БИНОМРАСП (число успехов; число испытаний;…) пакета Microsoft Excel. Математическое ожидание и дисперсия биномиально распределённой случайной величины равны  my =  пр и Dy = пр(1-р) соответственно.

Распределение Пуассона. Это распределение характерно для случайной величины числа наступления достаточно редких событий при массовых (значение n очень велико) испытаниях. Распределение Пуассона – это частный случай биномиального распределения при очень малой вероятности наступления события в большом числе испытаний. Вероятности непоявления события ни разу, а также появления его ровно k раз при предельном переходе от биномиального распределения оказываются равными величинам:

                                                   а k

                           Р(ỹ =  k) = _________ е-а

                                                      k!

Где а – математическое ожидание случайной величины;

k = 0, 1, 2, 3….

Для вычисления вероятностей Р(ỹ= уk) ряда распределения Пуассона удобно использовать функцию ПУАССОН (х; среднее; …) пакета Microsoft Excel. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, равны между собой: my = Dy = а.

Рассмотрим распределение скалярной (в смысле – невекторной, т.е. одномерной, единственной) случайной величины результата. Если случайная величина непрерывная, то даже на ограниченном интервале любого размера она имеет бесчисленное множество возможных значений. И если даже все возможные значения непрерывной случайной величины равновероятны, то согласно уже знакомому классическому определению получится, что вероятность каждого из таких значений равна дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – бесконечность. Такая дробь равна нулю. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-то наперёд заданное конкретное значение, равна нулю.

Рассмотрим формальное определение плотности вероятности скалярной случайной величины. Для этого выберем какую-то конкретную точку у на числовой оси, которая принадлежит множеству возможных значений этой случайной величины. Прибавим к величине у малое значение ▲у. В результате получим интервал длиной ▲у. Вероятность Р(у˂ỹ˂у+▲у) попадая в этот малый интервал обозначим через ▲Р. Вычислим отношение ▲Р/▲у вероятности ▲Р попадания в интервал к длине  ▲у этого интервала. Определим предел lim▲Р/▲у    этого отношения при стремлении длины ▲у интервала к нулю. Если   Δу→0       этот предел существует для всех значений у из множества возможных значений непрерывной случайной величины, то его называют плотностью вероятности и обычно обозначают через f(у). Плотность вероятности f(у) плотностью характеризует распределение непрерывной случайной величины, так как с её помощью однозначно определяют вероятности попадания случайной величины в произвольный заданный интервал [а,b]: