x₃ = (0;0;0;20,6; 308,6 ;205,7 ;0; 8,6;0);   f (x₃) =20,6*10,5=216,3

     В строке индексных оценок имеются отрицательные значения, следовательно, решение не является оптимальным. Переходим к следующей таблице (табл. 6):

Таблица 6

Шаг 4

 

     x₄ = (0;12;0;12;336;204;0;0);   f (x₄) = 12*8,5+12*10,5=228

     Найдено оптимальное решение, т.к. в строке с индексными оценками нет отрицательных коэффициентов; отрицательное значение в столбце при х₉ не учитывается. [5] Получением этой результирующей таблицы и завершаются вычислительные процедуры симплекс-метода.

     Следует обратить внимание на экономический  смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент Δ₃=1,2 при переменной х₃ показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 1,2 единицы.

     Прямая  задача

     Для получения наибольшей прибыли, равной 228 тыс. рублей, предприятие должно выпустить по 12 окон 2-ого и 4-ого типов. Окна 1-ого и 3-его типов производить не выгодно. Чтобы производство этих окон стало выгодным, необходимо либо увеличить их стоимость, но при этом нужно проанализировать, будет ли спрос на эти окна на рынке, либо  уменьшить их трудоемкость путем внедрения новых технологий. 

     Подставим оптимальный план прямой задачи в  систему ограниченной математической модели планирования товарооборота:

      10∙0+12∙12+15∙0+20∙12 ≤ 720;

     15∙0+18∙12+20∙0+25∙12 ≤ 720;

     20∙0+25∙12+30∙0+35∙12 = 720;

     12=12. 

     Третье  ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что время третьего цеха полностью используются в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка. Четвертое ограничение выполняется как равенство, т.е. предприятие будет выпускать окна 4-ого типа только для того, чтобы выполнить свои обязательства по контракту. Первое, второе ограничения выполняется как строгое неравенство, т.е. время первого и второго цехов использовано не полностью.

     Двойственная  задача

     При полученном плане время работы цеха, занимающегося окончательной сборкой окон и их загрузкой для отправления на склад фирмы-продавца, будет использовано полностью. Из таблицы 6 также видно, что оптимальным планом двойственной задачи является:

     x*= (0; 0; 0,34; 1.4; -1,4; 0,8; 0; 1,2; 0); f(x*) = 228.

     При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

                              10∙0+15∙0+20∙0,34> 10

                  12∙0+18∙0+25∙0,34 = 8,5

                  15∙0+20∙0+30∙0,34 > 9

                  35∙0,34 – 1,4 = 10,5 

     Второе и четвертое ограничения двойственной задачи выполняются как равенства. Это означает, что двойственные оценки времени, используемые для изготовления одного окна второго и четвертого типа, равны в точности доходам. Поэтому продавать эти виды товаров экономически целесообразно, а их реализация предусмотрена оптимальным планом прямой задачи                  (x₂ > 0, x₄ > 0).

     Первое  и третье ограничения двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка, используемая при изготовлении одного окна первого и третьего типа, выше дохода от их продажи. Следовательно, продавать окна первого и третьего типа невыгодно, и действительно в оптимальном плане прямой задачи x₃ = x₄=0.

     Величина  двойственной оценки показывает, насколько возрастает значение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса на единицу. Например, увеличение рабочего времени 3 цеха на 1мин. приведет к получению нового оптимального плана, в котором прибыль возрастает на 0,34 тыс. руб. и станет равной

f(x*) = 228 + 0,34 = 228,34 тыс. руб.

     При этом коэффициенты оптимальной симплексной табл. 6 столбца №7, коэффициенты структурных сдвигов показывают, что указанное увеличение прибыли достигается за счет увеличения реализации окон второго типа на величину 0,04 единицы, объем продажи окон четвертого типа останется постоянным, и уменьшения остатков ресурсов первого и второго цехов на 0,48 мин. и 0,72 мин. соответственно.

     В то же время ввод в продажу невыгодной группы товаров уменьшает размер дохода. Если x₁ = 1, то

f(x*) = 228 – 0,8 = 227,2 тыс. руб.

     При этом коэффициенты структурных сдвигов  оптимальной симплексной табл. 6 столбца х₁ показывают, что указанное уменьшение дохода происходит за счет уменьшения объема продажи выгодного товара второго типа на величину 0,8 единиц, уменьшения остатка ресурсов первого цеха на 0,4 мин. и уменьшения остатка ресурсов второго цеха на 0,6 мин.

     Таким образом, двойственные оценки связаны  с оптимальным планом прямой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи оказывает влияние на ее оптимальный план и систему двойственных оценок. В свою очередь двойственные оценки служат инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях меняющихся коммерческих ситуаций. 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

          В ходе курсовой работы были решены следующие задачи: изучен симплекс-метод и двойственный симплекс-метод; рассмотрена реализация симплекс-метода с помощью симплекс-таблиц; описана  производственная ситуация и для  данной ситуации установлен оптимальный  план производства. В конечном итоге решение этих задач позволило достичь основной цели: составлен оптимальный план выпуска продукции, при котором предприятие будет иметь максимальную прибыль.

    В результате проведенных исследований было установлено, что для получения наибольшей прибыли, равной 228 тыс. рублей, предприятие должно выпустить 12 окон второго типа и 12 окон четвертого типа, окна первого и третьего типов в данных условиях выпускать не выгодно.

     При данном плане время работы цеха, занимающегося окончательной сборкой окон и их загрузкой для отправления на склад фирмы-продавца, будет использовано полностью. Величина двойственной оценки показывает, насколько возрастает значение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса на единицу. Например, увеличение рабочего времени 3 цеха на 1мин. приведет к получению нового оптимального плана, в котором прибыль возрастает на 0,34 тыс. руб. и станет равной

f(x*) = 228 + 0,34 = 228,34 тыс. руб.

     При этом коэффициенты оптимальной симплексной табл. 6 столбца №7, коэффициенты структурных сдвигов показывают, что указанное увеличение прибыли достигается за счет увеличения реализации окон второго типа на величину 0,04 единицы, объем продажи окон четвертого типа останется постоянным, и уменьшения остатков ресурсов первого и второго цехов на 0,48 мин. и 0,72 мин. соответственно.

     В то же время ввод в продажу невыгодной группы товаров уменьшает размер дохода. Если x₁ = 1, то

f(x*) = 228 – 0,8 = 227,2 тыс. руб.

     При этом коэффициенты структурных сдвигов  оптимальной симплексной табл. 6 столбца х₁ показывают, что указанное уменьшение дохода происходит за счет уменьшения объема продажи выгодного товара второго типа на величину 0,8 единиц, уменьшения остатка ресурсов первого цеха на 0,4 мин. и уменьшения остатка ресурсов второго цеха на 0,6 мин.

      Из таблицы 6 также видно, что оптимальным планом двойственной задачи является: х₅=0; х₆=0; х₇ =0,34; (-х₈+ x₉)=-2,4.

    Двойственные оценки времени, используемого для производства одного окна второго и четвертого типа, равны в точности их ценам. Поэтому выпускать эти два типа окон по двойственным оценкам экономически целесообразно. Их производство предусмотрено оптимальным планом прямой задачи. Двойственные оценки времени, используемого на производство одного окна первого и третьего типа, выше цены этих окон и, следовательно, выпускать окна этих типов невыгодно. Их производство и не предусмотрено оптимальным планом.

      При сравнении решений прямой и двойственной задач подтверждается, что производственный план, который мы нашли, является оптимальным, следовательно, мы решили важную задачу, стоящую перед предприятием.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фомин, Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник / Г. П. Фомин 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во «Финансы и статистика», 2005.– 616 с.
2. Грешилов, А.А. Прикладные задачи математического программирования: учебное пособие / А. А. Грешилов – М.: Изд-во «Логос», 2006. – 365 с.
3. Зайченко Ю.П., Шумиллова С.А.  Исследование операций: сборник задач: учебное пособие / Ю. П. Зайченко – М.: «Высшая школа», 1990. – 253 с.
4. Попова Н.В. Электронный учебник. Математические методы. –   http://matmetod-popova.narod.ru/
5. Интернет-ресурс - http://www.mathelp.spb.ru/applet/SimplexTool.htm