Лекции по "Рынку ценных бумаг"

(1 + r)n – 1

Пример 6

По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реинвестирования полученного дохода. 
(1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.

Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при  прочих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом реинвестирования выше.

В общем случае вычисляется из формулы (3):

(1 + r)n = FV / PV

откуда 
r = корню степени n из ((FV / PV) - 1)  (7).

С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному временному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвестирования.

Например, если инвестиция имеет срок, выраженный в днях, то число периодов n= 365/X где Х- число дней, то по формуле (6) процентная ставка равна:

r = (FV / PV - 1) / n = (FV / PV) - 1) * X / 365

По формуле (7) процентная ставка равна:

r = корню степени (365 / X) из ((FV / PV) - 1)

Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т.е. n = 1), формула  приобретает совсем простой вид:

r = FV / PV – 1

 

10.3 Понятие о дисконтировании денежных потоков

 

Под денежными потоками (для целей  настоящей главы) мы понимаем доходы (выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной форме.

Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.

Для того чтобы привести будущую  стоимость инвестиции к ее текущей  стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконтировать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать полученные величины.

Коэффициент дисконтирования (1 + r)-1 определяется с учетом доходности по альтернативному вложению.

Пример 7

Необходимо принять решение  о том, имеет ли смысл покупать облигацию номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного 8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка процента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых.

	Будущая стоимость выплат	Дисконтирование по ставке доходности альтернативного вложения (10%)	Настоящая стоимость денежных выплат
Год 1	Купонный доход 800 руб.	800/1,10	727 руб.
Год 2	Купонный доход 800 руб.	800/1,102	661 руб.
Год 3	Купонный доход 800 руб.	800/1,103	601 руб.
Год 3	Погашение облигаций по номиналу 10000 руб.	10000/1,103	7513 руб.

 

Итого текущая стоимость 9502 руб.

Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях приобретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее текущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9500 руб.).

Общая формула для расчета текущей  стоимости инвестиции при условии  выплаты дохода без реинвестирования через равные промежутки времени и возврата основной суммы в конце срока:

PV = C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)2 + C3 / (1 + r)3 + ... + CN / (1 + r)n + FV / (1 + r)n  (8),

где C1, C2, C3 - доход, начисленный (или  купон, выплаченный) в конце первого, второго, третьего периодов,

Сn - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце n-ого периода,

FV - основная сумма вклада, выплаченная  по окончании n-ого периода,

r - доходность по альтернативному  вложению.

 

10.4 Внутренняя ставка доходности

 

Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение (8) относительно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем выгоднее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.

Пример 8

Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегодный  купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации - 98,18 номинала. Найти внутреннюю ставку доходности.

Пусть номинал - 100, тогда PV = C1 / (1 + r) + FV / (1 + r),

где С = 100 х 0,08 = 8, FV = 100, PV= 98,18, a r предстоит  найти. Подставляя полученные значения в формулу, получаем:

98,18 = 8 / (1 + r) + 100 / (1 + r) = 108 / (1 + r)

Отсюда: I + r = 108 / 98,18 = 1,1

и наконец, внутренняя ставка доходности равна: r = 0,1 = 10%.

Пример 9

Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на банковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирования процентного дохода.

PV = C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)2 + C3 / (1 + r)3 + FV /(1 + r)3,

где PV = FV = 9 500, C1 = C2 = С3 = 950.

Получаем уравнение:

9500 = 950 x (1 / (l + r) + 1 / (l + r)2 + 1 / (l + r)3) + 9500 / (1 + r)3

Решая его относительно r, получим r = 0,1 или 10%

Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям Примера 7, то, решив уравнение

9500 = 800 / (l + r) + 800 / (l + r)2 + 800 / (l + r)3) + 10000 / (1 + r)3

относительно r (r = 0,10011), мы можем убедиться, что внутренняя норма прибыли  для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что соответствует выводам, сделанным ранее.

 

10.5 Аннуитеты

 

Аннуитет (иначе - рента) - регулярные ежегодно поступающие платежи.

Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей  стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долгого времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодичностью.

Пример 10

Год	Доход
1	30000р
2	30000р
3	30000р

 

В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет. Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования, потоков платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается, что выплаты происходят в конце каждого года):

Год	Платежи	Коэффициент дисконтирования	Настоящая стоимость
1	30000 руб.	l/(1+0,1) = 0,9091	27273 руб.
2	30000 руб.	l/(l+0,l)2 = 0,8264	24792 руб.
3	30000 руб.	1/(1+0,1)3 = 0,7513	22539 руб.
Текущая стоимость 74604 руб.

 

Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб. Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконтирования на одну и ту же величину - 30000.

Получим: 
30000 х (1 / (i + r) + 1 / (i + r)2 + 1 / (1 + r)3)) = 30000 х (0.9091 + 0.8264 + 0.7513) = 30000 х 2.4868

То есть:

Год	Платежи	Коэффициент дисконтирования	Настоящая стоимость
1-3	30000 в год	2.4868	74,604

 

Текущая стоимость 74,604

Для экономии времени коэффициент  дисконтирования аннуитета может  быть вычислен по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 1 / (1 + r):

Ar = 1 / (1 + r) x (1 - (1 + r)-n) / (1 - (1 + r)-1) = (1 - (1 + r)-n) / r,

где r - процентная ставка за период (см. условия примера), 
n - число периодов.

Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент аннуитета при  процентной ставке 10%:

Аr = (1 - 1,13) / 0,1 = (1 - 0,7513) / 0,1 = 0,2487 / 0,1 = 2,487