Межотрослевой баланс

Докажем это утверждение.

Для любой отрасли условно  чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. Vj>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно записать:

,

из соотношения (3.3):

,

откуда, безусловно, следует:

.

таким образом, утверждение  доказано.

Можно показать, что при  выполнении этих двух условий матрица B = (E - A)-1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (3.5):

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат.

Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

Умножим обе части на (E - A):

,

,

,

,

.

Доказано.

Из соотношения (3.7) следует  bij ≥ aij, , . Таким образом, коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B следует:

.

Взаимосвязь коэффициентов  прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере  который изображен на рисунке 3 : пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб.

Рисунок 3 Взаимосвязь коэффициентов  прямых и полных материальных затрат

Полные затраты на изготовление хлеба для данного примера  складываются из прямых затрат (мука, электроэнергия, оборудование), и косвенных затрат всех уровней, к примеру, чтобы изготовить муку - нужно зерно, электроэнергия и т.д. Косвенные затраты высоких  уровней являются незначительными  и при практических расчетах ими  можно пренебречь.

Покажем только что изученную  модель на примере 1. [7, С. 301]

Пример 1. В таблице 1 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.

Нужно вычислить необходимый  объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохраниться на прежнем уровне.

Таблица 1

 

Имеем x1=100, x2=150, x11=7, x12=21, x21=12, x22=15, y1=72, y2=123. По формуле (3.3) находим  коэффициенты прямых затрат: a11=0,07; a12=0,14; a21=0,12; a22=0,10, то есть матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: max{0,07+0,12;0,14+0,10}=max{0,19;0,24}= 0,24<1. Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле . Найдем матрицу полных затрат :

Так как |E-A|=0,8202≠0, то отсюда следует:

По условию вектор конечного  продукта Тогда по формуле (4) получаем вектор валового выпуска:

То есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить  до 179,0 усл. ед., а машиностроительной – до 160,5 усл. ед. [9, С. 168]

2.3. Модель  равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева  – так называемую модель равновесных  цен. Пусть, как и прежде, А –  матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т– вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место  следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив это равенство  на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут  быть записаны в матричной форме  следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т– вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т. [10, С. 200]

4. Динамическая модель Леонтьева

 

Рассмотрим модель Леонтьева  во времени. Предположим, что из выпуска  каждой отрасли предназначенной  для потребления выделяются инвестиции на развитие каждой отрасли. Статический  межотраслевой баланс Леонтьева: приравниваем чистый выпуск отраслей конечному спросу на продукцию отраслей.

,

где тогда:

- вектор-столбец годовых  валовых выпусков отраслей;

тогда

- вектор-столбец годового  конечного спроса на продукцию  отраслей;

- матрица прямых затрат, каждый элемент которой aij показывает, сколько единиц продукта i необходимо для производства единицы j-го продукта. При этом предполагается, что a_ij не зависят от времени и масштаба производства.

Если теперь вектор конечных продуктов y_tв каждый год t, представить в виде двух векторов: инвестиционных товаров (продуктов) и потребительских товаров, то получим модель динамического межотраслевого баланса:

где - матрица приростных фондоемкостей, каждый элемент которой b_ij показывает, сколько единиц продукта i необходимо произвести для увеличения годового производства j-го продукта на единицу;

c_t– вектор-столбец конечного (непроизводственного) потребления.

С экономической точки  зрения соотношение показывает разделение вектора валовых выпусков (а следовательно, и каждый его компоненты) на три части:

1. - текущее производственное потребление, включая амортизацию;
2. - капитальные затраты на расширенное производство;
3. - конечное (непроизводственное) потребление.