Імітаційні моделі

Необхідні й  достатні умови подібності явищ полягають  у рівності числових значень визначальних критеріїв подібності, тобто критеріїв, утворених з величин, що входять до умови однозначності.

Сукупність  фізичних величин (включаючи відповідні розмірні фізичні константи), які  забезпечують однозначну визначеність досліджуваного явища, називаються системою визначальних параметрів. Кількість незалежних критеріїв подібності, утворених із системи визначальних параметрів, установлюється «p-теоремою», яка стверджує, що число безрозмірних комплексів (критеріїв подібності) дорівнює числу всіх величин, суттєвих для процесу, за мінусом числа первинних величин:

,  (1.1)

де  — відповідно число критеріїв подібності; усіх параметрів (у тому числі й безрозмірних), суттєвих для процесу; число первинних величин, за допомогою яких описуються розмірності визначальних параметрів.

Розглядаючи питання про фізичне моделювання, слід з’ясувати його відмінність від натурного моделювання. При натурному моделюванні в об’єкт, який необхідно дослідити, не вносять спеціальних змін, а саме натурне моделювання може здійснюватися або шляхом проведення експерименту під час виробничих процесів, або узагальненням виробничого досвіду чи натурних (експериментальних) даних. Фізичне моделювання передбачає створення спеціальних пристроїв, що мали б спільну з оригіналом фізичну природу. При цьому коректне використання результатів фізичного моделювання досягається за рахунок ізоморфності критеріїв подібності. Критерії подібності будь-якого явища можуть перетворюватися в критерії іншої форми за рахунок операцій множення чи ділення критеріїв, піднесення їх до ступеня або множення на будь-який постійний коефіцієнт.

Є два основних способи  утворення критеріїв подібності. Перший спосіб полягає в приведенні рівнянь фізичного процесу, що вивчається, до безрозмірного виду (метод інтегральних аналогів). Він базується на відомій властивості фізичних рівнянь: усі члени рівняння, що описує певний фізичний процес, мають однакові розмірності відносно основних одиниць вимірювання. Для визначення основних критеріїв подібності потрібно всі члени рівняння (нехай їх буде n) розділити на деякий із них, відкинути символи диференціювання й інтегрування, а також неоднорідні функції (трансцендентні, складні тощо). До отриманих у результаті цієї операції n – 1 основних критеріїв необхідно додати s додаткових критеріїв — аргументів, що входять у члени рівняння неоднорідних функцій. Таким чином, загальне число критеріїв подібності, знайдених способом інтегральних аналогів, складає n – 1 + s.

Як приклад розглянемо значення критерія подібності для випадку вимушених механічних коливань з демпфуванням. Нехай вантаж масою коливається на пружині з жорсткістю у в’язкому середовищі, а при переміщенні його на відстань з’являється сила опору, пропорційна швидкості переміщення вантажу і коефіцієнта . На вантаж діє збурююча сила . Диференційне рівняння цього процесу має вигляд

.

Розділивши всі члени  рівняння на перший член (на величину ), отримаємо відомий критерій Ньютона , а також два інші критерії . Оскільки в рівнянні є неоднорідна функція — синус, то потрібно ввести додатковий критерій (критерій гомохронності) , який має сенс лише за умови, що збурююча сила змінюється за синусоїдним законом.

Другий спосіб безпосередньо  базується на використанні «p-теореми». За відсутності рівнянь, які описують процес, що моделюється, основні труднощі застосування апарату теорії подібності й розмірності полягають в утворенні системи визначальних параметрів. Якщо система таких параметрів утворена, то при дослідженні натурних явищ на фізичних моделях не виникає ніяких теоретичних труднощів. Фізичне моделювання зводиться до розв’язання двох фактично окремих задач.

1. Розрахувати параметри фізичної моделі так, щоб фізичний процес, що матиме місце в моделі, був подібний відповідному процесу натурного зразка (реально існуючого чи гіпотетичного) — оригіналу.
2. За допомогою дослідження фізичної моделі розрахувати необхідні характеристики натурної установки.

Нехай система визначальних параметрів для оригіналу (натури) включає  величин , числові значення і формули розмірності яких відомі. Треба обчислити відповідні параметри фізичної моделі .

Як відомо, математичний опис будь-якої фізичної величини  
можна представити як добуток деякого числового значення її на  
розмірність . Тому . Оскільки , то перша задача фізичного моделювання зводиться до встановлення числових значень . Згідно з визначенням подібності фізичних явищ

,  (1.2)

де  — поки що невідомий масштабний коефіцієнт (константа подібності).

Рівняння  для визначення невідомих масштабних коефіцієнтів можна отримати шляхом прирівнювання однойменних критеріїв подібності, утворених із системи визначальних параметрів, і підстановкою співвідношення (1.2). Оскільки число критеріїв згідно з формулою (1.1) дорівнює , то і рівнянь для обчислення невідомих масштабних коефіцієнтів можна отримати стільки ж. Решта коефіцієнтів обираються довільно з урахуванням зручності побудови і експериментального дослідження фізичної моделі. Число , яке дорівнює числу первинних одиниць вимірювання K, іноді називають числом ступенів вільності моделювання. Якщо в систему визначальних параметрів входять безрозмірні величини, то вони самі є критеріями подібності й тому для моделі й натури їх числові значення збігаються.

Друга задача фізичного моделювання розв’язується методом аналізу розмірності вимірюваної на моделі характеристики процесу . Формула розмірності залежить від обраної системи одиниць вимірювання. Наприклад, для механічних вимірювань у міжнародній системі одиниць СІ (SI — System international) розмірність величини символічно може бути записана у вигляді

, (1.3)

де квадратні  дужки, у яких розміщений символ величини , означає, що мова йде про розмірність одиниці даної величини, а символи означають узагальнені позначення одиниць довжини, маси та часу. Показники ступеня вважаються відомими.

З урахуванням (1.3) величина може бути записана у вигляді

.  (1.4)

Якщо числове значення цієї характеристики для фізичної моделі дорівнює , а для натури — , то неважко вивести формулу, яка встановлює зв’язок між цими величинами

,  (1.5)

де  — масштабні коефіцієнти для довжини, маси та часу.

Таким чином, якщо на фізичній моделі знайдено числове значення характеристики , то воно може бути перераховано на натурне явище за формулою

.  (1.6)

Слід зауважити, що методи теорії подібності й розмірностей застосовуються не лише при фізичному моделюванні, а і безпосередньо в техніко-економічних розрахунках.

З метою ілюстрування підходу розробки методики фізичного моделювання на основі використання «p-теореми» розглянемо дослідження, проведені одним із співавторів посібника (проф. В. Ф. Ситником) під час підготовки кандидатської дисертації. Була поставлена задача: дослідити параметри навантажувальної машини для навантаження гірських скельних порід, яка створювалася на принципово нових засадах. Робочий процес машини, що полягає у взаємодії робочого органу (ковша, гребка) з насипною породою (камінням), описати математично практично неможливо. Тому треба було створити імітаційну модель робочого органу, дослідити його в лабораторних умовах і на основі отриманих експериментальних даних розрахувати параметри і характеристики натурної машини.

Система визначальних параметрів включає 9 величин.

1. Лінійні розміри робочого органу, кусків скельного матеріалу, штабеля насипної породи — .
2. Швидкість руху робочого органу при взаємодії з породою — .
3. Об’ємна вага насипного матеріалу — .
4. Величина напірного зусилля (сила тяжіння маси гребка) — .
5. Прискорення сили тяжіння — .
6. Тривалість робочого циклу машини — .
7. Кутові величини (безрозмірні параметри) — , .
8. Коефіцієнт внутрішнього тертя насипного матеріалу (безрозмірний параметр) — .
9. Коефіцієнт тертя насипного матеріалу з металом робочого органу (безрозмірний параметр) — .

Згідно з формулою (1.1) із 9 визначальних параметрів можна утворити 6 незалежних критеріїв подібності. Безрозмірні величини самі є критеріями подібності, тому , тобто величини для фізичної моделі й натури мають бути одними й тими самими. Четвертим критерієм можна обрати число Фруда, яке використовувалося іншими дослідниками під час вивчення процесу випуску руди. Маємо . За допомогою загальних залежностей типу та можна утворити такі два критерії подібності (ділимо рівняння на один із членів та відкидаємо символи диференціювання) — і .

Отримана система критеріїв  подібності є замкнутою, оскільки вона включає всі визначальні параметри. З іншого боку, критерії подібності незалежні, тобто жоден з них не може бути отриманий з решти коефіцієнтів. Це дає змогу однозначно розв’язати задачі обчислення масштабних коефіцієнтів (констант подібності), маючи відомі параметри машини (реальної чи тієї, що проектується) , знайти визначальні параметри фізичної моделі . Згідно з формулою (1.2) ця задача зводиться до обчислення 9 масштабних коефіцієнтів . Перших три коефіцієнти дорівнюють одиниці ( ), оскільки вони відповідають безрозмірним визначальним параметрам. Для визначення решти 6 констант подібності є три критерії подібності, тобто мають місце три ступені вільності, що дає змогу, виходячи з міркувань зручності проведення фізичних експериментів, прийняти довільно три масштабних коефіцієнти: лінійний масштаб (наприклад, зменшити фізичну модель у десять разів порівняно з натурою, тобто = 0,1), .

Три інші константи подібності визначаємо за умови інваріантності критеріїв подібності, підставляючи в ці комплекси рівняння типу (1.2). Наприклад, з рівності маємо . Аналогічно отримаємо .

Користуючись формулою (1.6), можна обчислити прогнозовані характеристики натури за результатами дослідження фізичної моделі. У таблиці 1.1 подано розрахункові формули для деяких характеристик навантажувальної машини (наприклад, екскаватора).

Таблиця 1.1

№	Характеристика машини	Числове значення для   моделі	Числове значення для   натури
1	Зусилля опору заглибленню ковша в породу
2	Продуктивність машини
3	Потужність машини
4	Робота (енергія)
5	Об’єм (маса) навантаженої породи
6	Питомий тиск
7	Питома енергоємність

 

Розглянемо на цьому  прикладі ідею застосування теорії подібності й аналізу розмірностей у техніко-економічних розрахунках. Один з можливих напрямів застосування полягає в тому, що характеристики деякого (існуючого) зразка машини (прототипу) беруться за базові величини, а характеристики геометрично і технологічно подібних машин розраховуються за формулами типу (1.6), тобто прототип машини виступає як фізична модель, характеристики якої установлені шляхом промислової експлуатації базової машини. У таблиці 1.2 для ілюстрації ідеї методу розрахунків за прототипом наведено приклади розрахунку (прогнозування) робочих характеристик 7 кар’єрних екскаваторів фірми «Маріон» (США), котрі випускаються з місткістю ковша 2,5; 3,0; 4,0; 6,0; 7,0; 8,0; 10,0 кубічних ярдів (1 кубічний ярд дорівнює приблизно 0,765 м²).

Машину типу 111М виберемо за прототип, а інші машини вважатимемо варіантами базової машини, характеристики яких необхідно знайти. Основний масштабний коефіцієнт прив’яжемо до місткості ковша (для прототипу він дорівнює 1). Решта коефіцієнтів, а також порівняльні результати розрахунків наведено в таблиці 1.2. У таблиці наведено такі позначення: — марка екскаватора, — місткість ковша, — масштабний коефіцієнт, , — розрахункове (прогнозне) і фактичне значення характеристики В, — відносна різниця між розрахунковим і фактичними значеннями характеристики у %, — робоча вага екскаватора (т), — потужність двигуна підняття породи (квт), — радіус черпання (м).

Таблиця 1.2

9314	2,5	0,625	77,5	79,2	–2,2	58,8	56,0	5,0	11,8	11,4	3,5
101M	3,0	0,752	93,0	87,5	6,3	73,6	70,0	5,0	12,6	11,7	7,7
111M	4,0	1	—	124	—	—	102	—	—	13,9	—
4161	6,0	1,5	185	195	–5,0	164	140	17	15,9	14,8	7,5
151M	7,0	1,75	216	207	4,3	196	186	5,2	16,6	14,9	11,4
181M	8,0	2,0	247	238	3,8	230	224	2,7	17,4	16,1	8,0
191M	10,0	2,5	310	323	–4,0	299	280	6,8	18,9	17,4	8,5