Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

 

                                           ₍₁₇₎

 

Отсюда σ₂ (12)= σ₂ (10)+Δ σ₂=1,964+0,0756=2,040

Найдем значения t₁ и t₂:

 

                                   (18)

                               

 

                                     

                                 (18)

Теперь найдем табличное  значение t_γ. Для этого зададимся уровнем значимости, например а=0,05 (это стандартная величина).  Затем определим доверительную вероятность γ=1– а=1– 0,05=0,95 и число степеней свободы k=n – 1=12 –1=11. Относительно найденных значений γ и k по таблице «Значение t-критерия Стьюдента» (приложение 2) найдем табличное значение t_γ=2,201.

Сопоставим значения t₁ и t₂ с t_γ.

 Поскольку |t₁=2,77|>|t_γ=2,201|, нулевая гипотеза о том, что во временном ряде отсутствует тенденция дисперсии, отвергается.

Поскольку |t₂=3,92|>|t_γ=2,201|, нулевая гипотеза о том, что во временном ряде отсутствует тенденция среднего уровня, отвергается.

На основе сопоставлений с выбранной  вероятностью 95% можно утверждать, что  во временном ряде присутствуют тенденция  дисперсии и тенденция среднего уровня.

2.5 Анализ методом коэффициента Кендэла.

 

Оценим наличие тенденции  в виде тренда в исходном временном  ряде с помощью коэффициента Кендэла.

Таблица 7 - Оценка наличия  тенденции среднего уровня ряда в  исходных данных

t(дни)	yt (т.р.)	Pt
1	10,2	-
2	10,8	1
3	10,4	1
4	11,9	3
5	12,2	4
6	12,5	5
7	13,1	6
8	12,4	5
Продолжение таблицы 7.
1	2	3
9	13,6	8
10	14,3	9
11	14,9	10
12	13,8	9
Итого	-	61

 

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем число случаев  превышения текущим уровнем ряда предыдущих ему уровней ряда.

Первый уровень ряда у₁=10,2 не с чем сравнить (нет предыдущих уровней ряда), поэтому в графе 3 таблицы 7 поставим прочерк. Второй уровень ряда у₂=10,8 больше предыдущего у₁=10,2, поэтому в графе 3 таблицы 7 ставим 1. Третий уровень у₃=10,4 больше у₁=10,2 и меньше у₂=10,8, поэтому в графе 3 таблицы 7 ставим 1. Четвертый уровень у₄=11,9 больше у₃=10,4, у₁=10,2, у₂=10,8, поэтому в графе 3 таблицы 7 ставим 3.

Аналогичным образом  определим число таких случаев  и для остальных уровней ряда.

 

Подведя итог по графе 3 таблицы 7, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих по формуле:

Р=Σ Р_t=1+1+3+4+5+6+5+8+9+10+9=61

Определим расчетное  значение коэффициента Кендэла:

                 

                            (19)

Рассчитаем теоретическую  дисперсию:

                    

                            (20)

Для оценки наличия в  ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96.

Сопоставим расчетное  и теоретическое значения коэффициента Кендэла. При сопоставлении может  возникнуть три варианта.

Первый вариант, когда с вероятностью t во временном ряде нет тренда;

 

                    ,                             (21)

,

Соотношение не выполняется.

 

Второй вариант, когда с вероятностью t во временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда;

 

                                                 

,                                       (22)

   

_{Соотношение не выполняется.}

Третий вариант, когда с вероятностью – t во временном ряде есть возрастающая тенденция среднего уровня ряда.

 

             ,   (23)

Только в третьем варианте выполняется необходимое соотношение расчетного и теоретического значений коэффициента Кендэла.

Из установленного соотношения  следует, что с вероятностью 95% во временном ряде есть возрастающая тенденция среднего уровня ряда. Этот вывод согласуется с выводами, полученными нами ранее при визуальном анализе графика временного ряда и применении метода Фостера–Стюарта.

2.6 Определение параметров линейного тренда методом усреднения по левой и правой половине ряда.

Рассчитаем параметры  линейного тренда методом усреднения по левой и правой половине.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 8 -    Метод усреднения по левой и правой половине данных

t(дни)	yt (т.р.)
1	10,2
2	10,8
3	10,4
4	11,9
5	12,2
6	12,5
7	13,1
8	12,4
9	13,6
10	14,3
11	14,9
12	13,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделим данные таблицы  на две части. В первую часть попадут данные с 1-го по 6-й день, а во вторую часть – с 7-го по 12-й день работы. Рассчитаем по каждой половине среднее число дней и  средние объемы продаж. По формулам:

Найдем значения для  первой половины данных таблицы:

, 

                                     

                                         (24)

 

                               

                   (25)

 

 Найдем значения  для второй половины данных таблицы:

 

; .

 

                                        

                               (26)

 

                                      

                (27)

 

В результате расчетов мы получили координаты двух точек А(3,5; 11,33) и В(9,5; 13,68). Построим эти точки, через них проведем прямую до пересечения с осью ординат (объем продаж) (рисунок 4). Точка пересечения а₀=9,95.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4. Определение параметра а₀

Теперь определим значение параметра а₁:

                                      

                                 (28)

 

Таким образом, с помощью  графического метода мы  нашли  приблизительные  значения параметров линейного тренда .

2.7 Определение параметров линейного тренда методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК)  позволяет для выбранного типа трендовой модели рассчитать ее параметры таким образом, что сумма квадратов отклонений фактических данных от тренда будет наименьшей.

Чтобы найти параметры линейного  тренда , необходимо решить  систему нормальных уравнений

                                                    

.                                    (29)

Для расчета параметров линейного тренда методом МНК используем данные  таблицы 4. Построим таблицу 9 и проведем в ней необходимые расчеты.  

Таблица 9 - Расчета параметров линейного тренда

методом МНК

t(дни)	yt (т.р.)	t2	yt x t
1	10,2	1	10,2
2	10,8	4	21,6
3	10,4	9	31,2
4	11,9	16	47,6
5	12,2	25	61,0
6	12,5	36	75,0
7	13,1	49	91,7
8	12,4	64	99,2
9	13,6	81	122,4
10	14,3	100	143,0
11	14,9	121	163,9
12	13,8	144	165,6
78	150,1	650	1032,4

Найдем параметры а₀ и а₁  подставив цифры из  итоговой строки в формулы:

                       

;       (30)

 

 

       (31)

 

В результате расчетов линейной тренд    примет конкретный вид 

Рассчитаем значения линейного тренда для каждого момента времени, подставив соответствующие значения t в уравнение:

_{Отобразим данные в таблице 10:}

Таблица 10- Значения линейного тренда для каждого момента времени

t(дни)	yt (т.р.)
1	10,2	10,326
2	10,8	10,723
3	10,4	11,120
4	11,9	11,517
5	12,2	11,914
6	12,5	12,311
7	13,1	12,708
8	12,4	13,105
9	13,6	13,502
10	14,3	13,899
11	14,9	14,296
12	13,8	14,693

 

 

Построим графики по исходным данным временного ряда и рассчитанного линейного тренда на рисунке 5.

Рисунок 5. Исходные данные временного ряда и рассчитанного линейного тренда

На основе визуального  анализа можно сделать вывод: что соответствие линейного тренда с трендом, который может иметь место во временном ряде очевидно. Ранее был сделан вывод, что во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер. На графике присутствует линейный тренд.

Сравним параметры линейного  тренда, вычисленные графическим методом  а₀=9,95 и а₁=0,394  и методом МНК – а₀=9,929 и а₁=0,397. Они достаточно близки.