Работу  системы обслуживания характеризуют  такие показатели. Как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в  обслуживании, возможность простоя  каналов обслуживания, стоимость  обслуживания и в конечном итоге  удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы  обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие  заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить  или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для  улучшения показателей коммерческой деятельности. Для решения перечисленных  задач существует эффективный метод  моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе  математики.

     1.1. Предмет и задачи теории массового обслуживания

       Теория массового обслуживания  опирается на теорию вероятностей  и математическую статистику.

         На первичное развитие теории  массового обслуживания оказали  особое влияние работы датского  ученого А.К. Эрланга (1878-1929).

     Теория  массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

     Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

     Задача  теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.

     Задачи  теории массового обслуживания носят  оптимизационный характер и в  конечном итоге включают экономический  аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен  минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов  обслуживания.

1.2. Система массового  обслуживания

         Система обслуживания считается  заданной, если известны:

1) поток  требований, его характер;

2) множество  обслуживающих приборов;

3) дисциплина  обслуживания (совокупность правил, задающих процесс обслуживания).

       Каждая СМО состоит из какого-то  числа обслуживающих единиц, которые  называются каналами обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи, различные приборы,  лица, выполняющие те или иные  операции и т.п

     Всякая  СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих  в какие-то случайные моменты  времени. Обслуживание заявок продолжается какое-то случайное время, после  чего канал освобождается и готов  к приему следующей заявки. Случайный  характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО  скапливается излишне большое число  заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

     Процесс работы СМО представляет собой случайный  процесс с дискретными состояниями  и непрерывным временем; состояние  СМО меняется скачком в моменты  появления каких-то событий ( или  прихода новой заявки, или окончания  обслуживания, или момента, когда  заявка, которой надоело ждать, покидает очередь ).

1.3. Классификация СМО

     Для облегчения процесса моделирования  используют классификацию СМО по различным признакам, для которых  пригодны определенные группы методов  и моделей теории массового обслуживания, упрощающие подбор адекватных математических моделей к решению задач обслуживания в коммерческой деятельности (рисунок 1).

 

     

     

     Рисунок 1 - Классификация систем массового обслуживания 
 

 

     

1.4. Характеристики СМО

       Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:

• среднее время обслуживания;
• среднее время ожидания в очереди;
• среднее время пребывания в СМО;
• средняя длина очереди;
• среднее число заявок в СМО;
• количество каналов обслуживания;
• интенсивность входного потока заявок;
• интенсивность обслуживания;
• интенсивность нагрузки;
• коэффициент нагрузки;
• относительная пропускная способность;
• абсолютная пропускная способность;
• доля времени простоя СМО;
• доля обслуженных заявок;
• доля потерянных заявок;
• среднее число занятых каналов;
• среднее число свободных каналов;
• коэффициент загрузки каналов;
• среднее время простоя каналов.

Глава 2. Модели систем массового обслуживания

2.1 Одноканальная СМО  с отказами в  обслуживании

       Проведем  анализ простой одноканальной СМО  с отказами в обслуживании, на которую  поступает пуассоновский поток  заявок с интенсивностью λ, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью μ.

       Работу  одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (рисунок 2).

       Переходы  СМО из одного состояния S₀ в другое S₁ происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратный переход – под действием потока обслуживания с интенсивностью μ.

S₁

S₀

λ

μ

     Рисунок 2 - Размеченный граф состояний одноканальной СМО

       Запишем систему дифференциальных уравнений  Колмогорова для вероятностей состояния  по изложенным выше правилам:

     

       Откуда  получим дифференциальное уравнение  для определения вероятности  р₀(t) состояния S₀:

     

       Это уравнение можно решить при начальных  условиях в предположении, что система  в момент t=0 находилась в состоянии S₀, тогда р₀(0)=1, р₁(0)=0.

       В этом случае решение дифференциального уровнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

     

       Тогда нетрудно получить выражение для  вероятности определения вероятности  занятости канала: 

     

       Вероятность р₀(t) уменьшается с течением времени и в пределе при t→∞ стремится к величине

     

а вероятность р₁(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t→∞ к величине

     

       Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений  Колмогорова при условии

     

       Функции р₀(t) и р₁(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени характерной для рассматриваемой системы.

     С достаточной для практики точностью  можно считать, что переходный процесс  в СМО заканчивается в течение  времени, равно 3τ.

     Вероятность р₀(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.

     Действительно, р₀(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из них обслуживается λр₀ заявок.

     Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению  ко всему потоку заявок определятся величиной

     

     В пределе при t→∞ практически уже при t>3τ значение относительной пропускной способности будет равно

     Абсолютная  пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в  единицу времени в пределе  при t→∞, равна:

     

     Соответственно  доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

     

а общее  число не обслуженных заявок равно

       Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов  в магазине, диспетчерская автотранспортного  предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается  связь по телефону.

2.2 Многоканальная СМО  с отказами в  обслуживании

       В коммерческой деятельности примерами  многоканальных СМО являются офисы  коммерческих предприятий с несколькими  телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах  самых дешевых автомобилей в  Москве имеет 7 телефонных номеров, а  дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

     Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность  увеличить количество проданных  автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

     Туристические фирмы по продаже путевок имеют  два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

     Рассмотрим  многоканальную СМО с отказами в обслуживании на рисунке 3, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. 

Рисунок 3 – Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами

       Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния S_k, представленные в виде размеченного графа:

     S₀ – все каналы свободны k=0,

     S₁ – занят только один канал, k=1,

     S₂ – заняты только два канала, k=2,

     S_k – заняты k каналов,

     S_n – заняты все n каналов, k=n.

       Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно  в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S₀ в S₁, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния S_k в S_k-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий, переводящий систему из S_n в S_n-1, имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика – основателя теории массового обслуживания.