Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения-гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

        . 

       Вычислив  все вероятности состояний n – канальной СМО с отказами р₀ , р₁, р₂, …,р_k,…, р_n, можно найти характеристики системы обслуживания.

       Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая  заявка на обслуживание найдет все  n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии S_n:

       k=n.

     В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому

     Р_отк+Р_обс=1

       На  этом основании относительная пропускная способность опредляется по формуле

     Q = P_обс= 1-Р_отк=1-Р_n

       Абсолютную  пропускную способность СМО можно  определить по формуле 

       А=λ*Р_обс

     Вероятность обслуживания, или доля обслуженных  заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

     

     Из  этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся  под обслуживанием, или, что же самое, среднее число занятых обслуживанием каналов

     

     Коэффициент занятости каналов обслуживанием  определятся отношением среднего числа  занятых каналов к их общему числу 

     

     Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время  занятости t_зан и простоя t_пр каналов, определяется следующим образом:

     

       Из  этого выражения можно определить среднее время простоя каналов 

     

     Среднее время пребывания заявки в системе  в установившемся режиме определятся  формулой Литтла

     Т_смо= n_з/λ.

Глава 3. Реализация модели СМО

3.1. Общая постановка  задачи

       В системах МСО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все  каналы заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

       Пусть имеется n канальная система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим ее как физическую систему с Х конечным множеством состояний:

         – свободны все каналы,

        – занят ровно один канал,

       ………………………………

       – заняты все n каналов.

       Требуется определить вероятности состояний  системы  (k=0,1,2,…,n) для любого момента времени t. Задачу решить при следующих допущениях:

       1) поток заявок – простейший  с плотностью ;

       2) время обслуживания  – показательное с параметром  

       Параметр  аналогичен параметру показательного закона распределения промежутка Т между соседними события простейшего потока: 

       Процесс, протекающий в системе, будет  Марковским. Вероятности  удовлетворяет следующим уравнениям Эрланга: 

       Интегрирование  системы уравнений нужно производить  при начальных условиях: 

       Для любого момента времени должно выполняться условие 

       Вероятность характеризует среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности, есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, застанет все каналы занятыми (получит отказ): 

       Величина  называется относительной пропускной способностью системы. Для данного момента t это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.

       При вероятности , a  Для установившегося режима вероятности (k=0,1,…,n) можно получить из решения следующей алгебраической системы 
 
 

       Решая систему можно получить

3.2. Пятиканальная система массового обслуживания с отказами

       Имеется пятиканальная система массового обслуживания с отказами.

       Требуется определить вероятности состояний  системы  (k=0,1,2,…,5) для любого момента времени t. Задачу решить при следующих допущениях:

       1) поток заявок – простейший  с плотностью ;

       2) время обслуживания  – показательное с параметром =3,03;

       Процесс, протекающий в системе, будет  Марковским. Вероятности  удовлетворяет следующим уравнениям Эрланга: 

       При вероятности , a  Для установившегося режима вероятности (k=0,1,…,n) можно получить из решения следующей алгебраической системы

3.3. Модель пятиканальной СМО с отказами

       

       Рисунок 4 – Модель пятиканальной СМО  с отказами, построенная с использованием MathLab

Заключение

       В ходе выполнения данного курсового проекта была построена модель пятиканальной системы массового обслуживания с отказами при плотности потока заявок равной 5 и интенсивностью потока заявок равной 3,03. Модель СМО была  реализована с помощью программы MathLab.

       На  основе результатов полученных с  помощью разработанной модели, можно сделать следующие выводы:

• вероятность того, что все каналы системы будут свободны равна 0,5617;
• вероятность того, что занят ровно один канал системы составляет 0,3244;
• вероятность того, что заняты ровно два канала системы составляет 0,09369;
• вероятность того, что заняты ровно три канала системы составляет 0,01805;
• вероятность того, что заняты ровно четыре канала системы составляет 0,002613;
• вероятность того, что все каналы заняты равна 0,0003016;

       Таким образом, при заданных условиях, рассматриваемая  СМО успешно справляется с  поступающим потоком заявок.  

Список  литературы

       1) Бочаров П. П., Печенкин А. В. Теория массового обслуживания: Учебник. – М.: Изд-во РУДН, 1995. – 529 с., ил.

       2)  Клейнрок Л. Теория массового  обслуживания. Пер. с англ./Пер. И. И. Грушко; ред. В. И. Нейман. – М.: Машиностроение, 1979. – 432 с., ил.

       3) Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового  обслуживания: Учеб. Пособие для  вузов. – М.: Высш. школа, 1982. –  256 с., ил.

       4) Хинчин А. Я. Работы по математичексой  теории массового обслуживания. М., Физматгиз, 1963 г., 236 стр.

       5) Клейнрок Л. Вычислительные системы  с очередями. Пер. с англ./Пер.  Б.С. Цыбакова – М.: Издательство «Мир», 1979. – 600 с., ил.

       6) Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко.  Введение в теорию массового  обслуживания. – М.: Издательство  «Наука», 1966. – 434 с.

       7) Дудин А.Н., Медведев Г.А., Меленец Ю.В. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания: Учеб.пособие. Мн.: Университетское, 2000. – 109 c.

       8) Емельянов, А. А. Имитационное моделирование в экономических инфор-мационных системах [Текст] / А. А. Емельянов, Е. А. Власова, Р. В. Дума ; Под ред. А. А. Емельянова. – М. : Финансы и статистика, 2002.

       9) Максимей, И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ [Текст] / И. В. Максимей. – М. : Радио и связь, 1988. – 232 с.

       10) Нейлор, Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем [Текст] / Т. Нейлор. – М. : Мир, 1975.

       11) Фомин, Г. П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности [Текст] : учеб. пособие / Г. П. Фомин. – М. : Финансы и ста-тистика, 2000.

       12) Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем [Текст] / Н. П. Бусленко. – М. : Наука, 1978.

       13) Новиков, О. А. Прикладные вопросы теории массового обслуживания [Текст] / О. А. Новиков, С. И. Петухов. – М. : Советское радио, 1969. – 400 с.

       14)  Риордан, Дж. Вероятностные системы обслуживания [Текст] / Дж. Риор-дан. – М. : Связь, 1966. – 184 с.

       15)  Советов, Б. Я. Моделирование систем [Текст] : учебник для вузов / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. – М. : Высшая школа, 1998.

       16)  Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука [Текст] / Р. Шеннон. – М. : Мир, 1978.

       17)  Хемди А. Таха Глава 18. Имитационное моделирование // Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. - 7-е изд. - М.: «Вильямс», 2007.

       18)  Строгалев В. П., Толкачева И. О. Имитационное моделирование. - МГТУ им. Баумана, 2008.

       19) Лоу А., Кельтон В. Имитационное моделирование [Simulation Modeling and Analysis]. СПб.: Издательство:Питер, 2004. – 848 с.