Система счисления

Представление информации в цифровых автоматах

Системы счисления

     Для удобства последующего преобразования дискретный сигнал подвергается кодированию. Большинство кодов основано на системах счисления, причем использующих позиционный принцип образования числа, при котором значение каждой цифры зависит от ее положения в числе.

     Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

     Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

     Примером непозиционной системы является римская, в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ цифра Х встречается трижды, и в каждом случае обозначает одну и ту же величину 10, а в сумме ХХХ – 30.

     Величина числа в римской системе  счисления определяется как сумма  или разность чисел. Если меньшая  цифра стоит слева от большей,  то она вычитается, если справа  – прибавляется.

     Например:

1998=MCMXCVIII=1000+(1000–100)+(100–10)+5+1+1+1

2002=MMII=1000+1000+1+1

     В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

     Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

     700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 × 10² + 5 × 10¹ + 7 × 10⁰ + 7 × 10^–1 = 757,7.

     Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

     Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

     За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

     Для позиционной системы счисления справедливо равенство (развернутая форма числа).

где A_(q) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; a_i – цифры системы счисления; n, m – количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную запись чисел:

 

     Например:

      В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

     Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.

     Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада).

     Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.

      Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется  в ЭВМ как вспомогательная для  записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада)

     Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления представлено в табл. 1.

 

                       Таблица 1

 

     Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

     для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В или b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 101000₂ = 101000_b = 101000_B = 101000B = 101000b;

     для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H или h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак  H или h справа от числа. Например, 3AB₁₆ = 3AB_H = 3AB_h = 3ABH = 3ABh.

     Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила.

Правила перевода чисел из одной системы  счисления в другую

     Правила перевода различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

     1. Правила перевода целых чисел из десятичной системы счисления – в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную (результатом всегда является целое число):

     а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2, 8 или 16); получается частное и остаток;

     б) если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

     в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с табл. 1 в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

     г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

     Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

  _19    2

18. _9    2

     1      8    _4    2

   1      4     _2    2

              0       2    1 

                                         0   последнее частное от деления (последующее деление 1 на 2 не дает отличного от нуля частного). Это старший разряд результирующего двоичного числа.

1 0 0 1 1 – результирующее число

     Таким образом, 19 = 10011₂.

     Пример 2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления: 
 

                _19    16

        16      1

               3  

             1  3 – результирующее число.

     Таким образом, 19 = 13₁₆. 

     Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

               _123   16

      112    7

  11

     7 В – результирующее число.

     Таким образом, 123 = 7В₁₆.

     Пример 4. Перевести с.с.

                 

     Результат .

     Пример 5. Перевести 622₁₀ "16" с.с.   

    Результат: 622₁₀ = 26E₁₆

     2. Правила перевода правильных дробей из десятичной системы счисления – в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную (Результатом является всегда правильная дробь):

     а) исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2, 8 или 16);

     б) в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с табл. 1 в цифру нужной системы счисления и отбрасывается – она является старшей цифрой получаемой дроби;

     в) оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).