Система счисления

     101₂ = 5; 11₂ = 3; 10₂ = 2.

     Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

     Пример 35. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97₁₆ шестнадцатеричное число 7В₁₆.

     Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                   номера разрядов:      2 1 

           _- 9 7₁₆

           7 В₁₆

     Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

     а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7₁₆ < В₁₆ и непосредственное вычитание  невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ – В₁₆ = 23 – 11 = 12 = С₁₆;

     б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8₁₆ – 7₁₆ = 1₁₆.

     Таким образом:  

       _- 9 7₁₆

        7 В₁₆

        1 С₁₆.

     Для проверки результата используем данные из примера 17.

     Таким образом, вычитание выполнено верно.

     Пример 36. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

 
   
   
     Пример 37. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.  
 
 
   

     Пример 38. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

 
     Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

     Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;

215,4₈ = 2 . 8² + 1 . 8¹ + 5 . 8⁰ + 4 . 8^-1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8 . 16¹ + D . 16⁰ + 8 . 16^-1 = 141,5.

     Пример 39. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).

б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16). 

     1100000011,011          1510,2           27D,D8

         - 101010111,1         -1230,54         -191,2

     --------------                    -------          ------

        110101011,111           257,44           EC,B8 

Правила умножения

     В основе умножения лежит таблица  умножения одноразрядных двоичных чисел:

     .

     Умножение многоразрядных двоичных  чисел происходит в соответствии  с вышеприведенной таблицей умножения  по обычной схеме, применяемой  в десятичной системе счисления  с последовательным умножением  множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение десятичных чисел:

     Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.  
     Пример 40. Умножить двоичное число 101₂ на двоичное число 11₂.

     Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                   номера разрядов:  3 2 1 

       _* 1 0 1₂   

            1 1₂

     Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

     а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

    б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 10₂ = 1010₂. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

     в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 101₂ + 1010₂ = 1111₂.

     Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 1):

     101₂ = 5; 11₂ = 3; 1111₂ = 15.

     Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

     Пример 41. Умножить шестнадцатеричное число 1С₁₆ на шестнадцатеричное число 7В₁₆.

     Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1: 

                   номера разрядов:       2 1 

       _*    1 С₁₆   

            7  В₁₆

     Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

     а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С₁₆ * В₁₆ = 28 * 11 = 308 = 134₁₆;

     б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С₁₆ * 70₆ = 28 * 112 = 3136 = С40₁₆. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

     в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 134₁₆ + С40₁₆ = D74₁₆.

     Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 17 и правилами формирования полного значения числа:

     1С₁₆ = 28; 7В₁₆ = 123;

     D74₁₆ = 13*16² + 7*16¹ + 4*16⁰ =  3444.

     Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = D74₁₆. 

     Пример 42. Перемножим числа 5 и 6.

 
     Ответ: 5 . 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

     Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3×8¹ + 6×8⁰ = 30. 

     Пример 43. Перемножим числа 115 и 51.

 
 

    Ответ: 115 . 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

     Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1 . 8⁴ + 3 . 8³ + 3 . 8² + 5 . 8¹ + 1 . 8⁰ = 5865.

     Пример. Выполнить умножение:

а) 100111(2) ´   1000111(2) = 101011010001(2).

б) 1170,64(8) ´   46,3(8) = 57334,134(8).

в) 61,A(16) ´   40,D(16) = 18B7,52(16). 

                 100111               1170,64                 61,A

               *1000111              *   46,3                *40,D

             -------------        --------------           ----------

                 100111               355 234                4F 52

          +     100111          +    7324 70            +  1868

               100111               47432 0             ----------

           100111               -------------              18B7,52

          -------------             57334,134

           101011010001 

Правила деления

     Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

     Пример 44. Разделить двоичное число 1111₂ на двоичное число 11₂.

     Решение задачи представим схемой:

       _-1111₂    11₂

        11₂            101₂

          _-011₂

             11₂

              0₂

     Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 20. Они показывают, что деление выполнено верно: 1111₂ / 11₂ = 101₂.

     Пример 45. Разделим число 35 на число 14.