Система счисления

    Пример 22. Выполнить перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную числа 0,26₈.

     По таблице 1 имеем 2₈ = 010₂ и 6₈ = 110₂.

     Тогда 0,26₈ = 0,010110₂.

     Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,26₈ = 0,01011₂.

Правило перевода дробных  чисел

     Отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. Результаты складываются.

     Пример 23. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.

     Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:

     19,847 = 19 + 0,847.

     Как следует из примера 2, 19 = 13₁₆; а в соответствии с примером 9 0,847 = 0,D8D₁₆.

     Тогда имеем:

     19 + 0,847 = 13₁₆ + 0,D8D₁₆ = 13,D8D₁₆.

     Таким образом, 19,847 = 13,D8D₁₆.

    Пример 24. Перевести с.с.

     Пример 25.

     а) Перевести 305,4₈ "2" с.с.

 

     б) Перевести 7B2,E16 "2" с.с.

     Пример 26.

     а) Перевести 1101111001.1101₂ "8" с.с.

     б) Перевести 11111111011.100111₂ "16" с.с.

     Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

     Пример 27. Перевести 175.24₈ "16" с.с.

     Результат: 175,24₈ = 7D,5₁₆.

Правила выполнения простейших арифметических действий

     Арифметические операции для двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел. 
 

Правила сложения

     Сложение двоичных чисел производится  в соответствии со следующими  правилами:

     0 + 0 = 0

     0 + 1 = 1

     1 + 0 = 1

     1 + 1 = 10 (0 и единица переноса в  следующий, старший разряд).

     Сложение двоичных чисел, как  и в любой позиционной системе,  осуществляется вычислением суммы  значений одноименных разрядов  и единицы переноса из предыдущего  разряда, если она есть. Перенос  производится, если эта сумма  не меньше, чем основание системы счисления, т.е. число 2.

     Аналогично можно выполнять арифметические  действия в восьмеричной и  шестнадцатеричной системах счисления.  Необходимо только помнить, что  величина переноса в следующий  разряд при сложении определяется  величиной основания системы счисления:

     Пример 28. Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.

     Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                   номера разрядов: 5 4 3 2 1    

      ₊  1 1 0 1₂

                                     1 1 0 1 1₂

     Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

     а) разряд 1 формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ = 10₂; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

     б) разряд 2 формируется следующим образом: 0₂ + 1₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

     в) третий разряд формируется следующим образом: 1₂ + 0₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

     г) четвертый разряд формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ + 1₂ = 11₂, где третья 1₂ – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

     д) пятый разряд формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ = 10₂; где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

     Таким образом:

      ₊  1 1 0 1₂

             1 1 0 1 1₂

         10 1 0 0 0₂.

     Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

     1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;

     11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

     101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 32 + 8 = 40.

     Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно. 

     Пример 29. Сложить шестнадцатеричные числа 1С₁₆ и 7В₁₆.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                   номера разрядов:     2 1    

      ₊  1 С₁₆

                                          7 В₁₆

     Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

     а) разряд 1 формируется следующим образом: С₁₆ + В₁₆ = 12 + 11 = 23 = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

     б) разряд 2 формируется следующим образом: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ – единица переноса.

     Таким образом:

      ₊   1 С₁₆

                  7 В₁₆

                                          9 7₁₆. 

     Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

     1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

     7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

     97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

     Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

     Пример 30. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

      
     

 
 
 

     Пример 31. Сложим числа 15, 7 и 3.

    

    

 

     Пример 32. Сложим числа 141,5 и 59,75.

    

    

    

      
   
     Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

     Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25

311,2₈ = 3 ^. 8² + 1 ^. 8¹ + 1 ^. 8⁰ + 2 ^. 8^-1 = 201,25

C9,4₁₆ = 12 ^. 16¹ + 9 ^. 16⁰ + 4 ^. 16^-1 = 201,25

 

    Пример 33. Сложить числа:

    а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).

    б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

    в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16). 

        10000000100           223,2            3B3,6

        +  111000010        + 427,54        +38B,4

            ------------             -------              -----

        10111000110           652,74          73E,A 

Правила вычитания

     Вычитать двоичные числа можно поразрядно по следующим правилам:

     0 – 0 = 0

   10 – 1 = 1

     1 – 0 = 1

     1 – 1 = 0.

     Выполняя вычитание из ноля  единицы, следует занять единицу  из старшего значащего разряда.

     Аналогично можно выполнять арифметические  действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Необходимо только помнить, что заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:

       

     Пример 34. Вычесть из двоичного числа 101₂ двоичное число 11₂.

     Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                   номера разрядов:  3 2 1 

       _- 1 0 1₂   

            1 1₂

     Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

     а) разряд 1 формируется следующим образом: 1₂ – 1₂ = 0₂;

     б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10₂ – 1₂ = 1₂;

     в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

     Таким образом:  
 

       _– 1 0 1₂   

             1 1₂

           1 0₂.

     Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По табл. 1 имеем: