Система счисления

     г) процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

     д) формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

     Пример 6. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.

     Имеем:

       _*0,847

               2

         1,694  _*0,694

                          2 

                                 1,388 _*0,388

                  2

                 0,776 _*0,776

                                                              2  

                   1,552 и т.д. 

       0,1101 – результирующее число.

     В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр. Таким образом, 0,847 = 0,1101₂.

     Пример 7. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр. 

       _*0,847

              16

        13,552 _*0,552

                 16

       D    8,832  _*0,832

                  16

8. 13,312 и т.д.

D 

       0,D8D – результирующее число.

     В данном примере также процедура перевода прервана.

     Таким образом, 0,847 = 0,D8D₁₆.

      Пример 8. Перевести с.с.

     Результат

     3. Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления – в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле (1).

     Пример 9. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления. Имеем:

     13₁₆ =  1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19.

     Таким образом, 13₁₆ = 19.

     Пример 10. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Имеем:

     10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.

     Таким образом, 10011₂ = 19.

     Пример. Перевести с.с.

   

     Пример 11. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,1101₂. Имеем:

     0,1101₂ = 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 +1*2^-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.

     Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби   числом (см. пример 8) вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.

     Таким образом, 0,1101₂ = 0,8125.

     Пример 12. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D₁₆. Имеем:

     0,D8D₁₆ = 13*16^-1 + 8*16^-2 + 13*16^-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.

     Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом (см. пример 9) вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.

     Таким образом, 0,D8D₁₆ = 0,84692.

     Пример 13. Перевести с.с.

.

     4. Правила перевода целых чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

     а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

     б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с табл..1.

     Пример 14. Выполнить перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

     Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем: 
 

        10011₂ =  00010011₂

                         первая тетрада  – младшая цифра числа

                   вторая тетрада  – старшая цифра числа

     В соответствии с табл. 1 0011₂ =  3₁₆ и 0001₂ = 1₁₆. Тогда 10011₂ = 13₁₆.

     5. Правила перевода правильных дробей из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

     а) исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

     б) каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с табл. 1.

     Пример 15. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,1101₂. Имеем:

        0,1101₂ = 0,1101₂

                               первая (и единственная) тетрада

     В соответствии с табл. 1 1101₂ = D₁₆. Тогда имеем 0,1101₂ = 0,D₁₆.

     Пример 16. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,0010101₂.

     Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль:

        0,0010101₂ = 0,00101010₂.

             вторая тетрада

                               первая тетрада

     В соответствии с табл. 1 0010₂ 2₁₆ и 1010₂ = A₁₆. Тогда имеем 0,0010101₂ = 0,2A₁₆.

    6. Правила перевода целых чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную:

     а) исходное число разбивается на триады (т.е. 3 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 3, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 3;

     б) каждая триада заменятся соответствующей восьмеричной цифрой в соответствии с табл. 1.

     Пример 17. Выполнить перевод числа 10011₂ в восьмеричную систему счисления.

     Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 3, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 3 числа цифр. Имеем:

        10011₂ =  010011₂

                         первая триада – младшая цифра числа

                   вторая триада – старшая цифра числа

     В соответствии с табл. 1 011₂ = 3₈ и 010₂ = 1₈. Тогда 10011₂ = 23₈.

     7. Правила перевода правильных дробей из двоичной системы счисления в восьмеричную:

     а) исходная дробь делится на триады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 3, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 3;

     б) каждая триада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с табл. 1.

     Пример 18. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную числа 0,110₂. Имеем:

        0,110₂ = 0,110₂

                               первая (и единственная) триада

     В соответствии с табл. 1 110₂ = 6₈. Тогда имеем 0,110₂ = 0,6₁₆.

     Пример 19. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную числа 0,00101₂.

     Поскольку количество цифр дробной части не кратно 3, добавим справа незначащий ноль: 

        0,00101₂ = 0,001010₂.

             вторая триада

                               первая триада

     В соответствии с табл.1 001₂ = 1₈ и 010₂ = 2₈. Тогда имеем 0,00101₂ = 0,12₈.

     8. Правила перевода целых чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

     а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с табл. 1. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

     б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

     Пример 19. Выполнить перевод числа 13₁₆ в двоичную систему счисления.

     По табл. 1. имеем: 1₁₆ = 0001₂; 3₁₆ = 0011₂. Тогда 13₁₆ = 00010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆ = 10011₂.

     9. Правила перевода правильных дробей из шестнадцатеричной системы счисления  в двоичную:

     а) каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с табл. 1;

     б) незначащие нули отбрасываются.

    Пример 20. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А₁₆.

     По таблице 1 имеем 2₁₆ = 0010₂ и А₁₆ = 1010₂.

     Тогда 0,2А₁₆ = 0,00101010₂.

     Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А₁₆ = 0,0010101₂.

     9. Правила перевода целых чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную:

     а) каждая цифра исходного числа заменяется триадой двоичных цифр в соответствии с табл. 1. Если в таблице двоичное число имеет менее 3 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до триады;

     б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

     Пример 21. Выполнить перевод числа 23₈ в двоичную систему счисления.

     По табл. 1. имеем: 2₈ = 010₂; 3₈ = 011₂. Тогда 23₈ = 010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₈ = 10011₂.

     10. Правила перевода правильных дробей из восьмеричной системы счисления в двоичную:

     а) каждая цифра исходной дроби заменяется триадой двоичных цифр в соответствии с табл. 1;

     б) незначащие нули отбрасываются.