Геометрические приложения чисел Фибоначчи

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

     Числа Фибоначчи обладают целым рядом  интересных и важных свойств, рассмотрению которых и посвящена данная курсовая работа.

     Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) – крупного итальянского математика, автора “Книги об абаке” (1202), которая несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметики и алгебре, сейчас встречается чаще всего в связи с замечательной числовой последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Эта последовательность определяется условиями: u₁=1, u₂=1, u_n+1=u_n+u_n-1 (для каждого натурального n>1). Ее члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях – комбинаторных, числовых, геометрических.

     Актуальность. Трудно недооценить массовость применения чисел Фибоначчи в нашей жизни: данный ряд применяется в архитектуре, рекламе, киноиндустрии, живописи и т. д. В природе расстояния между листьями (ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи. Черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота – у орешника, 2/5 – у дуба, 3/8 – у тополя и груши, 5/13 – у ивы. В интерьерном и ландшафтном дизайне ряд используется для вычисления гармоничных пропорций: соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами. Человек подсознательно ищет Божественную пpопоpцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте. Не преувеличивая, можно сказать, что последовательности Фибоначчи и числу Фибоначчи на планете подчиняется всё.

     Цель  работы. Определить ряд Фибоначчи и изучить наиболее важные ее свойства.

     Задачи  работы.

• Рассмотреть задачу о кроликах из “Книги об абаке”;
• Дать определение ряда Фибоначчи и вывести формулу для общего члена;
• Рассмотреть основные свойства чисел Фибоначчи;
• Рассмотреть геометрические приложения чисел Фибоначчи.

     Структура работы. Во введении дается обоснование актуальности темы курсовой работы, формулируются цель и задачи. В теоретической части рассматривается задача о кроликах, вводится определение последовательности Фибоначчи и изучаются основные свойства данной последовательности. В заключении подводятся итоги и выводы по работе.

 

1. Фибоначчи: "Книга  об абаке" (1202) и  задача о кроликах  

     Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.

     Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Виеты, жившего, впрочем, уже в шестнадцатом столетии, и математиков более близких нам времен школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Это, конечно, не случайно. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.

     Тем больший интерес представляет для  нас сочинение «Liber abacci» («Книга об абаке»), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci – сокращенное filius Bonacci, т. е. сын Боначчи). Эта книга, написанная в 1202 г., дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

     «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.

     Сообщаемый  в «Liber abacci» материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

     Рассмотрим  одну такую задачу, помещенную на стр. 123 – 124 рукописи 1228 г. 
 
 

     «Сколько  пар кроликов в один год от одной  пары рождается?»

     

     «Некто  поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2  пары кроликов, и число пар кроликов

в этом месяце достигнет 5, из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом  месяце

достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые,  сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дадут в том же месяце потомство, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в десятом месяце, они дают 89 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар привела первая пара в данном месте к концу одного года.

     Действительно, на этих полях ты можешь увидеть, как мы это делаем; именно, мы складываем первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев».

     Из  выше приведенной задачи становится ясно, что Фибоначчи вывел  особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующее же члены равны сумме двух предыдущих.

 

2. Определение последовательности  Фибоначчи и формула  общего

члена (формула Бине)

     Перейдем  от кроликов к числам рассмотрим следующую числовую последовательность:

u₁, u₂, …, u_n,                                              (1)

в которой  каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т.е. при всяком n>2

u_n = u_n-1+u_n-2                                                                      (2)

     Такие последовательности, в которых каждый член определяется, как некоторая функция предыдущих в математике называется рекуррентными или по-русски, возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство (2) – возвратным (рекуррентным) уравнением.

     Заметим, прежде всего, что по одному этому  условию (2) члены последовательности (1) вычислять нельзя.

     Можно составить сколько угодно различных  числовых последовательностей, удовлетворяющих  этому условию; например,

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50,…,

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,…..,

-1, -5, -6, -11, -17,……,

и т.д.

     Значит для однозначного построения последовательности (1) условия (2) явно недостаточно, и нам следует указать некоторые дополнительные условия. Например, мы можем задать несколько первых членов последовательности (1). Сколько первых членов последовательности (1) мы должны задать, чтобы можно было вычислить все следующие члены, пользуясь при этом только условием (2)?

     Начнем  с того, что не всякий член последовательности может быть получен при помощи (2) уже хотя бы потому, что не у каждого члена (1) имеется два предшествующих; например. Перед первым членом последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым её членом стоит только один, значит вместе с условием (2) для определения последовательности (1) знать два ее первых члена необходимо.

     Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u₁ =1 и u₂=1. Условие (2). как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,

которые уже встречались в задаче о  кроликах.

     В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при u₁=u₂=1 называется рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи.

     Мы  определили число Фибоначчи рекуррентно, т. е. индуктивно, по их номеру. Оказывается, однако, что любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую функцию его номера.

     Исследуем для этого различные последовательности удовлетворяющие соотношению (2).

     Все такие последовательности мы будем  называть решениями уравнения (2).

     Будем обозначать буквами  , и соответственно последовательности

     Сначала приведем две простые леммы.,

     Лемма 1. Если V есть решение уравнения (2), а с – произвольное число, то последовательность cV (т. е. последовательность ) есть также решение уравнения (2).

     Лемма 2. Если последовательности и являются решениями уравнения(2), то и их сумма (тг. е. последовательность ) также является решением уравнения (2).

     Пусть теперь и – два непропорциональных решения уравнения (2) (т.е. два таких решения уравнения (2), что при любом постоянном с найдется такой номер , для которого ). Покажем, что всякую последовательность V, являющуюся решением уравнения (2), можно представить в виде