Геометрические приложения чисел Фибоначчи

      ,                                                    (3)

где и – некоторые постоянные. Поэтому принято говорить, что (3) является общим решением уравнения (2).

     Предварительно  докажем, что если решения и  и уравнения (2) непропорциональны, то

                                                        (4)

(т.е.  что эта непропорциональность  обнаруживается уже, в первых, двух членах, последовательностей  и )

     Доказательство  (4) ведется от противного. Пусть для непропорциональных решений и уравнения (2)

      .                                                      (5)

Написав производную пропорцию, мы получаем

,

или, принимая во внимание, что и являются решениями уравнения (2),

.

     Аналогично  убеждаемся (индукция!) в том, что 

.

     Таким образом, из (5) следует, что последовательности и пропорциональны, а это противоречит предположению. Значит, справедливо (4).

     Возьмем теперь некоторую последовательность V, являющуюся решением уравнения(2). Эта последовательность, как уже было выяснено выше, вполне определена, если заданы два ее первых члена, и .

     Найдем  такие и , чтобы имело место

                                                      (6)

     Тогда на основании лемм 1 и 2 даст нам последовательность V.

     Ввиду условия (4) система уравнений (6) разрешима относительно и , каковы бы ни были числа и :

,      .

(Условие (4) означает, что общий знаменатель этих дробей отличен от нуля.) Подставив вычисленные значения и в (3), мы и получим требуемое представление последовательности V.

     Значит, для описания всех решений уравнения (2) нам достаточно найти какие-нибудь два его непропорциональных решения.

     Будем искать эти решения среди геометрических прогрессий. В соответствии с леммой 1 достаточно ограничиться рассмотрением  только таких прогрессий, у которых  первый член равен единице. Итак, возьмем прогрессию

Чтобы она была решением уравнения (2), необходимо, чтобы при всяком n выполнялось

,

или, сокращая на ,

.                                                      (7)

     Корни этого квадратного уравнения, т. е. и , и будут искомыми знаменателями прогрессий. Мы будем их обозначать соответственно через и . Подчеркнем, что для чисел и , как для корней уравнения (7), должно иметь место , , .

     Мы  получили, таким образом, две геометрические прогрессии, являющиеся решениями уравнения (2).

     Поэтому все последовательности вида

      , , ,….                      (8)

являются  решениями уравнения (2). Так как найденные нами прогрессии имеют разные знаменатели и потому непропорциональны, формула (8) при различных и дает нам все решения уравнения (2).

     В частности, при некоторых  и формула (8) должна дать нам и ряд Фибоначчи. Для этого, как указывалось выше, нужно определить и из уравнений

,

,

т. е. из системы 

,

.

     Решив эту систему, мы получаем

, ,

Откуда

т. е.

                                          (9)

     Формула (9) называется формулой Бине (по имени математика, который ее вывел).

 

3. Основные теоретико-числовые  свойства последовательности  Фибоначчи 

     1) Вычислим сначала сумму первых  n чисел Фибоначчи. Именно, докажем. что

u₁+u₂+…+u_n=u_n+2-1.

В самом деле, мы имеем:

u₁=u₃-u₂,

u₂=u₄-u₃,

u₃=u₅-u₄,

…

u_n-1=u_n+1-u_n,

u_n=u_n+2-u_n+1.

     Cложив все равенства почленно, мы получим

u₁+u₂+….+u_n=u_n+2-u₂,

и нам  остается вспомнить, что u₂=1.

     2) Сумма чисел Фибоначчи с нечетными  номерами:

u₁+u₃+u₅+…+u_2n-1=u_2n.

     Для доказательства этого равенства  напишем

u₁=u₂,

u₃=u₄-u₂,

u₅=u₆-u₄,

…

u_2n-1=u_2n-u_2n-2.

Сложив  эти равенства почленно, мы получим  требуемое.

     3) Сумма чисел Фибоначчи с четными  номерами:

u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1-1

     4) Если n делится на m, то и u_n, делится u_m.

     5) Каково бы ни было целое число m т, среди первых m² -1 чисел Фибоначчи найдется хотя бы одно, делящееся на m.

     Заметим, что данное свойство не утверждает ничего о том, какое именно число  Фибоначчи разделится на m . Она говорит только, что первое число Фибоначчи, делящееся на m т, не должно быть особенно большим.

     6) (Большой интерес представляет вопрос об арифметической природе чисел Фибоначчи, об их делителях.)

     При n составном и отличном от 4, u_n есть составное число.

     7) Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.

     8) Если простое число р имеет вид 5t ± 1, то u_p-i  делится на р. Если р имеет вид 5t ± 2, то u_p+i делится на р.

     9) Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры – с периодом 1500, последние четыре – с периодом 15000, последние пять – с периодом 150000 и т. д.

     10) Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N² + 4 или 5N² − 4 является квадратом. 

 

4. Числа Фибоначчи  и цепные дроби 

     Предположим, что у нас есть два взаимно простых натуральных числа p и q – два числа, не имеющих общих делителей. Тогда существуют целые числа r и s такие, что pr+qs=1. Эти числа обычно ищутся с помощью алгоритма Евклида. Берется большее из чисел p и q и с остатком делится на меньшее. Остаток является суммой двух изначальных чисел с целыми коэффициентами. Затем берется меньшее число и остаток и с ними проделывается то же самое. Так как изначальные два числа были взаимно простые, то на каждом шаге мы будем получать два взаимно простых числа и алгоритм можно продолжать. В конце концов, мы дойдем до единицы. Оказывается, этот алгоритм можно формализовать и сделать более наглядным с помощью так называемых цепных дробей.

     Рассмотрим  два взаимно простых числа, например, 100 и 31. Попытаемся найти целые числа r и s такие, что 100r+31s=0. Для этого рассмотрим дробь и будем ее преобразовывать следующим образом: как только возникает дробь, большая единицы, будем выделять из нее целую часть, а остаток обращать. Число, обратное к остатку, снова будет больше единицы, и мы с ним проделаем то же самое. Процесс закончится, когда мы получим целое число. Итак,

.

     Получившуюся  цепную дробь можно обрубить, откинув  последний член . Тогда мы получим дробь . Понятно, что мы нашу дробь изменили совсем немного, т.е. . Попытаемся оценить близость этих дробей. Для этого умножим 100 на 9, а 31 на 29. Получим: . Вот и решение! Положив r=9, s=-29, мы в точности получим 100r+31s=1.

     На  самом деле, если действовать так  и обрубать последнюю дробь, то изначальная  дробь будет либо немного уменьшаться, либо немного увеличиваться, в зависимости  от того, на каком “ярусе” мы ее обрубаем – на четном или на нечетном. Так, уменьшение числителя уменьшает дробь, а уменьшение знаменателя – увеличивает. Поэтому, действуя так, как указано выше, мы будем получать pr+qs=1 или pr+qs=-1. В последнем случае решением будет являться пара (-r,-s): -pr-qs=1.

     Как мы видим, любую дробь можно разложить в цепную дробь; при этом процесс завершится. Оказывается, точно так же можно разлагать в цепные дроби и иррациональные числа. В этом случае, очевидно, мы будем получать бесконечную цепную дробь.

     Рассмотрим, например, такую дробь:

     Она будет стремиться к некоторому числу (иррациональному). Если вычесть из этой дроби единицу, а затем обратить, то получим снова эту же дробь. Обозначим ее через x. Тогда для нахождения значения x нужно решить уравнение или . Ответом будет . Теперь уже видно, что если обрубить эту дробь в каком-нибудь конечном месте, мы получим дробь, выражающую отношение двух соседних чисел Фибоначчи.

 

5. Геометрические приложения чисел Фибоначчи 

     Разделим  отрезок АВ единичной длины (рис. 1) на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

Рис. 1

     Обозначим для этого искомую длину большей  части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию

      ,                                                        (10)

откуда 

      .                                                          (11)

     Положительным корнем (2) является , так что отношения в пропорции (10) равны

каждое. Такое деление (точкой С₁) называется делением  в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением или золотым пропорцией (сечением).

     Если  взять отрицательный корень этого  уравнения, то делящая точка С₂ окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением), как это видно на рис.1. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

     Фактическое построение точки, делящей отрезок  золотым сечение, осуществляется без  труда.