Геометрические приложения чисел Фибоначчи

      Рис. 2                                                                  Рис. 3

     Пусть АВ=1; восстановим из точки перпендикуляр и возьмем точку Е, для которой АЕ=1/2 (рис.2). Тогда ЕВ = .

     Проведя из Е, как из центра дугу через А до пересечения с ЕВ в точке D, мы получаем

     Наконец проведя через D дугу с центром в В, мы находим искомую точку С₁. Точку внешнего деления С₂ можно найти из условия АС₂ = ВС₁.

     Золотое сечение довольно часто встречается  в геометрии, например, для квадрата, вписанного в полукруг (см. рис. 3), точка С делит золотым сечением отрезок АВ.

     Сторона правильного десятиугольника (рис.4) вписанного в круг радиуса R, как известно равна

т. е. .

     Таким образом,

     Иными словами а₁₀ равно большей части радиуса круга, разделенного золотым сечением.

Рис. 4

     Практически при вычислении можно вместо брать отношение соседних чисел Фибоначчи  и считать приближенно, что есть или даже .

     Рассмотрим  правильный пятиугольник. Его диагонали образуют правильный звездчатый пятиугольник (рис.5). Точка С делит отрезок АD золотым сечением.

Рис. 5.

     Золотая пропорция просматривается и  в других геометрических фигурах.

     Прямоугольники  золотого сечения выглядят «пропорционально» и приятны на вид. Вещами, имеющими такую форму приятно пользоваться. Поэтому многим «прямоугольным» предметам нашего обихода (книгам, спичечным коробкам, чемоданам и т.д.) часто придается именно такая форма. Различными философами-идеалистами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников золотого сечения и других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эстетический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми числовыми отношениями пытались не только описать, но и объяснить явления природы и даже общественной жизни.

     Природа дает нам многочисленные примеры  расположения однородных предметов, описываемых  числами Фибоначчи. В разнообразных  спиралевидных расположениях мелких частей мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

     Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх.

     На  многих шишках семена расположены в  трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены  в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

     У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков  в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать собственно 55 и 89. 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     Выросшие  из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей почти семисотпятидесятилетнюю давность), числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.

     В данной курсовой работе мы рассмотрели задачу о кроликах и ввели понятие последовательности Фибоначчи.

     Вывели  формулу Бине для нахождения общего члена последовательности Фибоначчи.

     Дали  определение цепных дробей и их связь  с числом Фибоначчи.

     Рассмотрели основные свойства чисел Фибоначчи  и их приложения в геометрии, определили принцип золотого сечения.

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 

     1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи.  – М.: Наука, 1984.

     2. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. – М.: Наука, 1975.

     3. Волошинов А.В. Математика и  искусство. – М.: Просвещение, 1992.

     4. Пидоу Д. Геометрия и искусство.  – М.: Мир, 1979.