Курсовая математич моделирование

,  (4)

Таким образом, анализируя вектор-функцию (4) для каждой контрольной точки, делают выводы о закономерностях  изменения положения объекта.

Множество X={x,y,z,…} называется метрическим пространством X, если на совокупности упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная функция ρ(x,y), называемая расстоянием (или метрикой).

Элементы метрического пространства называются точками.

Для множества всевозможных последовательностей x={x_n} действительных чисел:

,  (5)

Каждая такая последовательность называется точкой пространства, а  числа x_n, n=1,2,…, - ее координатами. Расстояние между двумя точками x={x_n} и y={y_n} определяется по формуле:

,  (6)

При любом натуральном m в пространстве R^m для точек (x₁,…,x_m), (y₁,…,y_m),  (z₁,…,z_m), справедливо неравенство треугольника:

 , (7)

Метрическое пространство всех действительных последовательностей, удовлетворяющих условию (5), с метрикой (6) называется гильбертовым пространством последовательностей и обозначается l₂ .

Используя принцип сжимающего пространства можно преобразовать  n-мерное метрическое пространство в 3-х мерное.

Положение точки в 3-х мерном пространстве определяется координатами X,Y,Z, которые вычисляются по формулам:

,  (8)

где    ,  (9)

X,Y,Z – координаты точки фазовой траектории; x,y,z – координаты контрольных точек системы;   m – количество контрольных точек.

По координатам X,Y,H (прил.1 табл. 3,4,5) и заданной математической модели  изменения состояния объекта в фазовом пространстве построим график функции для X,Y,H, где:

,  (10)

По формуле (10) вычисляем    для X,Y,H (прил.2 табл. 1,2,3) и строим графики функций (рис. 5,6,7).

Рис.5 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям Х

 

Рис.6 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям Y

 

Рис.7 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям H

Для разработки изменения  состояния объекта в гильбертовом пространстве составим матрицы (4) (прил. 2 табл. 4,5,6). По прил. 2 табл. 4,5,6 и формуле (9), вычисляем значения NORM (прил. 2 табл. 7) и по формулам (10) вычисляем значения координат X,Y,Z в гильбертовом пространстве (прил. 2 табл. 8).

По вычисленным координатам  X,Y,Z строим трехмерный график в гильбертовом пространстве (рис. 8).

Рис.8 График изменения состояния объекта в Гильбертовом пространстве 

4. Оценка математической модели пространственно-временного состояния объекта

При моделировании вертикальных движений сооружений по результатам  измерений происходит потеря точности из-за приближённости математического описания реального континуального процесса движений дискретной моделью, ошибок измерений и ошибок округления при представлении чисел в ЭВМ.

Ошибки округления обычно оценивают, выполняя вычисления  на ЭВМ по одному и тому же алгоритму с простой и двойной точностью. Когда ошибки исходных экспериментальных данных значительно превосходят ошибки округления при представлении чисел в ЭВМ, влияние последних на результаты моделирования пренебрегаемы и могут не учитываться. Приближённость математического описания реальных континуальных вертикальных движений по результатам повторных циклов наблюдений можно оценить, только изменив частоту повторных циклов, что экономически нецелесообразно и зачастую просто невозможно. Поэтому рассмотрим влияние на результаты моделирования только ошибок экспериментальных данных.

Обычно предполагают, что  ошибки исходных данных распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией _. При этих предположениях для оценки точности можно применить метод Монте-Карло и, выполнив достаточное число опытов, оценить точность моделирования вертикальных движений сооружения. Более простой, но менее надёжный путь оценки точности состоит в применении известных методов теории ошибок. Основной недостаток в этом случае состоит в необходимости линеаризации оцениваемых функций. Чтобы избежать принятия гипотез о функции распределения ошибок и необходимости линеаризации оцениваемых функций, используем метод имитационного моделирования для оценки точности результатов моделирования, полагая, что нам известна предельная абсолютная погрешность определения исходных данных, связанная со средней квадратической погрешностью выражением .

Для этого положим, что 

,  (11)

где – вектор ошибок исходных данных;

 – вектор ошибок  результатов моделирования.

Следовательно,

,  (12)

и для выполнения оценки точности результатов моделирования  достаточно вычислить вектор (12). Координаты вектора зададим равными предельной погрешности исходных данных.

Задача оценки точности результатов  моделирования сводится к определению  предельных значений фазовых координат и . Полагая предельную погрешность исходных данных равной ± D, можно определить векторы и значений левой и правой границ интервалов в пределах, в которых должны находиться значения исходных данных

,  (13)

Имея значения исходных данных, можно вычислить соответствующие значения фазовых координат и , и графически или аналитически определить неустойчивые состояния объекта, где реальные значения фазовых координат превосходят предельно допустимые.

Для оценки точности результатов  моделирования примем D = ±0,020м по осям Х,Y и D = ±0,002м по оси Н. По формулам (14) вычисляем верхний и нижний пределы, в которых должны находиться значения исходных данных (прил. 3 табл.1, 2, 3, 4, 5, 6).

 м,

 м.

                             

м,                        (14)

 м.

 м,

 м.

 

По формуле (10) вычисляем    для X,Y,H верхнего и нижнего предела (прил. 3 табл.1, 2, 3, 4, 5, 6) и строим графики функций (рис. 9, 10, 11).

Контроль:

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами  по дискретным значениям Х

 

 

 

Рис. 10 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами  по дискретным значениям Y

 

Рис. 11 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами  по дискретным значениям H

 

Оценку состояния системы в фазовом пространстве мы производили в прил. 3 табл.7, 8, 9. Для этого вычислили интервалы, в пределах которых должны находиться исходные данные по формуле:

,  (15)

Далее рассчитываем изменение  системы во времени относительно исходного состояния:

,  (16)

Если выполняется условие

,  (17)

то состояние системы  в данный момент времени можно  считать устойчивым, в противном  случае – неустойчивым.

Для оценки состояния объекта  в гильбертовом пространстве также используем верхний и нижний пределы, в которых должны находиться значения исходных данных (прил. 3 табл. 1, 2, 3, 4, 5, 6). По формулам (8),(9) вычисляем значения координат X,Y,Z в гильбертовом пространстве, которые представлены в прил. 3 табл. 10, 11. Строим трехмерные графики нижнего, верхнего предела и реальных данных (рис. 12).

 

Рис.12 График изменения пространственно-временного состояния объекта в гильбертовом пространстве. Верхний и нижний предел.

Оценку состояния объекта  в гильбертовом пространстве мы производили  в прил. 3 табл. 12, 13, 14 по формулам (15), (16) и условию (17).

По проведенной оценке математической модели пространственно-временного состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах можно сделать вывод о том, что в момент времени t = 10.14 для X и Y система выходит за пределы и является неустойчивой. В фазовом пространстве для H система является устойчивой во всех временных промежутках, в гильбертовом пространстве для H система является устойчивой только в момент времени t = 10.14, в остальные же моменты – неустойчива.

 

5. Прогнозирование функции отклика объекта на изменение его геометрических свойств

Одним из признаков адекватности модели является возможность с необходимой точностью прогнозировать будущее состояние объекта. Поэтому выбор методов прогнозирования является очень важной задачей, и ее решение требует индивидуального подхода к выбору используемой модели.

Модели можно классифицировать по различным признакам. В зависимости  от вида объекта, могут быть модели физических процессов, модели развития производства, модели развития науки и техники, экономические модели, демографические модели, социальные модели, модели политических ситуаций и т. д.

В зависимости  от характера протекания прогнозируемого  процесса, существуют следующие группы моделей: эволюционного развития; революционного развития; включающие элементы и эволюционного, и революционного развития.

В настоящее время существует большое количество способов и методов  прогнозирования, однако все они основаны на двух подходах: эвристическом  
и математическом.

Эвристический метод основан на мнении высококвалифицированных специалистов в данной области знания, что дает  возможность избежать грубых ошибок, особенно в области скачкообразных изменений прогнозируемой величины. Метод эвристического прогнозирования в основном используется для прогнозирования процессов, формализацию которых нельзя привести к моменту прогнозирования.

Математическое  прогнозирование заключается в использовании имеющихся (до определенного времени) данных о некоторых характеристиках прогнозируемого объекта, обработке этих данных математическими методами и определении функций зависимости этих характеристик от времени (или от других независимых переменных) для получения необходимых свойств объекта в заданный момент времени.

Процесс математического  прогнозирования условно подразделяется на следующие этапы:

-сбор и подготовку исходных данных;

-выбор и прогнозирование математической модели исследуемого объекта;

-обработку статистических данных для определения неизвестных параметров модели и получения зависимости, связывающей прогнозируемые характеристики объекта от времени или других величин;

-прогнозирование, т. е. вычисления значения интересующих характеристик или свойств объекта в заданный момент времени и при заданных значениях других известных переменных.

Методы математического  прогнозирования условно подразделяются на методы прогнозирования движения (развития) и экстраполяции (статистические методы). Процессы прогнозирования могут быть как непрерывными во времени, так и дискретными.

Качество прогноза определяет степень соответствия модели реальному  процессу. В ряде случаев функциями, моделирующими процесс, являются экспонента, полином (парабола, прямая), тригонометрические ряды и т. д. Используя достаточно большое количество параметров, можно провести кривую через все точки. Однако такой подход к прогнозированию содержит методический недостаток, так как при постоянных параметрах, полученных по предыстории, нельзя предсказать возможные изменения характера процесса.

Комбинированное прогнозирование. Эвристическим и математическим методам прогнозирования присущи и преимущества, и недостатки. Комбинированный метод объединяет достоинства этих методов и сглаживает недостатки. Комбинированное прогнозирование имеет следующую последовательность действий. Из исследования модели процесса развития явления выявляются общие закономерности, при этом в них могут быть коэффициенты или функции, которые не удается определить на основании анализа моделей процесса. Эти коэффициенты (или функции) определяют статистическими методами. Полученные данные позволяют выполнить математический прогноз. Независимо от него осуществляется эвристический прогноз, и затем результаты эвристического и математического прогнозирования сравниваются. В случае их непротиворечивости, задачу прогнозирования можно считать решенной. В случае противоречивости прибегают к методу логического анализа, с помощью которого и принимают окончательное решение.

Укажем на достоинства  и недостатки методов математического  и эвристического прогнозирования.

Эвристический метод принципиально  применим для прогнозирования любых  процессов: непрерывных или дискретных, стационарных или нестационарных, имеется ли «скачок» или нет, имеются ли статистики или нет. Однако этот метод является субъективным.