Курсовая математич моделирование

Метод наименьших квадратов (МНК) объективен. По своей сути он предназначен для обработки статистических данных, дискретных процессов. Однако, для него необходим достаточно большой статистический материал, необходимо знать вид функции, описывающий процесс, а также он не дает возможности предсказать «скачок» ни на участке упреждения, ни на участке наблюдения. МНК предполагает неизменность модели в области наблюдений и в области прогноза, «скачок» же – это изменение модели.

Существуют методы оптимальной  фильтрации (Винера – Хопфа, фильтр Калмана), предназначенные для обработки непрерывных статистических данных и рассчитанные, прежде всего, на применение в автоматических системах управления. Эти фильтры быстро и просто реализуются на ЭВМ, очень удобны для получения непрерывного прогноза, однако для них характерны: необходимость значительного статистического материала, знания корреляционной функции процесса и невозможность предсказания скачков на участке упреждения.

Кроме перечисленных методов, для прогнозирования применяют  метод канонических разложений и метод прогнозирования с помощью моделирования процессов развития, который идеален в том случае, если процесс детально изучен. Для сложных процессов построить корректную модель часто не удается.

Рассмотренные способы прогнозирования  характеристик процессов являются актуальными при допущении неизменности их моделей как на участке наблюдения за этими процессами, так и на участке прогнозирования. Однако не всегда параметры принятой модели не меняются. В большинстве случаев входные данные искажены помехой. Поэтому иногда трудно распознать, является ли отклонение нового наблюдения следствием внешнего воздействия, помехи или внутреннего воздействия. В последнем случае необходимо, чтобы модель позволяла как можно точнее описывать текущие данные о процессе, и совсем не обязательно, чтобы она также хорошо описывала данные, полученные в прошлом. Очень важно, чтобы прогнозирующая система могла автоматически распознавать изменения в модели. Одним из путей решения этой задачи является применение прогнозирования методом экспоненциального сглаживания. Математическая модель экспоненциального сглаживания имеет вид

,                                         (18)

В выражении (18) – постоянная сглаживания. Текущее значение сглаженной величины равно сумме предыдущего ее значения и некоторой доли разности между текущим наблюдением и предыдущим значением сглаженной величины. Величина является линейной комбинацией всех наблюдений, вес которых убывает по геометрической прогрессии со временем. Текущее наблюдение имеет вес A. Значение А лежит в интервале (0, 1). Предельное значение . При этом , т. е. значение S настолько стабильное, что можно не использовать новую информацию о процессе. Напротив, означает, что предшествующей информации о процессе доверять нельзя. При применении экспоненциального сглаживания для определения коэффициента постоянной модели A необходимо знать предшествующее значение оценки и текущего наблюдения . Точность и скорость реакции системы на изменение в модели зависят от величины постоянной сглаживания A. Малая величина A обеспечивает большую точность оценки A при неизменной модели, но медленную реакцию на изменение в модели, а увеличение A будет способствовать увеличению скорости этой реакции.

По формуле (18) выполним прогнозирование  функции m(t) для координат Х,Y,Z. Первое прогнозное значение получим по формуле:

     (19)

Прогнозную точку получаем по формуле:

     (20)

Значение А примем равным: 0,9.

Вычисление прогнозных значений для фазового пространства производилось по формулам (18), (19), (20) в прил. 4 табл. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Графики исходной и прогнозируемой функций для μ(t) представлены на рис. 13, 14, 15.

 

Рис.13 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Х

 

Рис.14 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Y

 

 

Рис.15 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Н

Графики исходной и прогнозируемой функций для α(t) представлены на рис. 16, 17, 18.

 

Рис.16 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Х

 

 

Рис.17 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Y

 

Рис.18 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Н

 

На рис.19, 20, 21 отображены результаты прогнозирования для  фазового пространства.

 

Рис. 19 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами  по дискретным значениям Х с прогнозной точкой

 

Рис. 20 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами  по дискретным значениям Y с прогнозной точкой

 

Рис. 21 Фазовая траектория состояния объекта с верхней и нижней предельными границами  по дискретным значениям Н с прогнозной точкой

 

 

Вычисление прогнозных значений для гильбертова пространства производилось по формулам (18), (19), (20) в прил. 4 табл. 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

Графики исходной и прогнозируемой функций координат X,Y,H в гильбертовом пространстве представлены на рис. 22, 23, 24.

Рис. 22 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для координаты Х в гильбертовом пространстве

 

Рис. 23 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для координаты Y в гильбертовом пространстве

 

 

Рис. 24 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для координаты Н в гильбертовом пространстве

 

6. Оценка и анализ результатов моделирования

Рис.25 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям Х с прогнозной точкой

 

Рис.26 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Х  

Рис.27 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Х

Выполнив анализ изменения  пространственно-временных характеристик объекта в фазовом пространстве для X (рис. 25, 26, 27), получили следующие выводы:

1 – исходное состояние системы.

2-13 – устойчивое состояние системы (изменения незначительны, точки располагаются внутри окружности с R=D)

14 – неустойчивое состояние системы, имело место поступательное движение.

15 – прогнозная точка, характеризует устойчивое состояние системы.

Точка бифуркации: 13. 

 

Рис.28 Фазовая траектория состояния объекта по дискретным значениям Y с прогнозной точкой

 

Рис.29 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Y

 

Рис.30 Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для фазовой координаты

по дискретным значениям Y

Выполнив анализ изменения  пространственно-временных характеристик объекта в фазовом пространстве для Y (рис. 28, 29, 30), получили следующие выводы:

1 – исходное состояние системы.

2-13 – устойчивое состояние системы (изменения незначительны, точки располагаются внутри окружности с R=D)

14 – неустойчивое состояние системы, имело место поступательное движение.

15 – прогнозная точка, характеризует устойчивое состояние системы.

Точка бифуркации: 13.

 

Из приложения 3 табл.9 видно, что состояние объекта по высоте устойчиво.

 

Анализируя результаты моделирования, можно сделать вывод о том,  что в момент времени t = 10.14 система неустойчива и совершает поступательное движение в плане. В остальные моменты времени система движется незначительно, в пределах допустимых значений. Прогнозные точки говорят о том, что система возвратится в устойчивое положение.

 

7. Статистический метод оценки изменения пространственно-временного состояния объекта

Главными вопросами в  задаче оценки изменения пространственно-временного состояния объекта являются:

1. определение границы  между его  «безопасным» и  «опасным» состоянием;

2. определение степени  риска перехода из «безопасного»  в «опасное» состояние. 

Задача будет решена, если по имеющимся данным определить в  фазовом пространстве состояние объекта и установить соответствие между его пространственно-временным состоянием (ПВС) и мерой «опасности» перехода в это состояние.

Риск - это случайная величина  в полной мере характеризующаяся  своей функцией распределения или рядом распределения. Риск возникает в одном из  возможных состояний, каждое из которых можно интерпретировать как точку в фазовом пространстве. Тогда положение фазовой точки на фазовой траектории, моделирующей эволюцию ПВС, определит «опасность» состояния объекта в данный момент времени.

Только по данным о ПВС  или эволюции ПВС сооружения определить причины возникновения «опасного» состояния невозможно. Однако эти  данные служат надёжным предвестником перехода сооружения из «безопасного»  состояния в «опасное» и обосновывают необходимость выявления физических причин такого перехода.

Вариантов решения рассмотренной  задачи и критериев оценки решения  существует множество. Один из возможных вариантов решений заключается в применении статистического метода управления качеством.

Контрольные карты качества (ККК) представляют собой  вспомогательное  средство для контроля и управления процессами производства в отношении качества промежуточных и конечных продуктов. Для того чтобы избежать появления брака, в некоторые моменты времени берутся выборки продукции, оцениваются, и результаты этой оценки графически фиксируются на ККК. ККК по Шеворту характеризуются своими верхними и нижними предупреждающими границами и границами вмешательства (ВГВ, НГВ, ВПГ и НПГ). Средняя линия карты — это математическое ожидание контролируемой функции. Границы ККК представляют собой границы 99%-ного (границы вмешательства), 95%-ного (предупреждающие границы) интервалов разброса.

Рассмотрим функцию  , характеризующую деформацию объекта. Свойства  X(t),Y(t), Z(t) определены на 15 моментов времени. Предположим, что каждое из свойств – это случайная величина с полным объемом выборки n = 15  имеющая нормальное распределение. Параметры распределения: - СКО измерений, - математическое ожидание.

Построим для каждого из значений контрольную карту качества Шеворта (среднее значение и разброс нормально распределенного критерия, вероятность вмешательства при сдвиге математического ожидания).

В таблице 1 приведены расчетные  значения для ККК, где ВГВ, ВПГ, НПГ  и НГВ вычислены, как 99% и 95% симметричные интервалы  разброса при вероятности  ошибки и . - смещенное математическое ожидание, S среднеквадратическое отклонение, вероятность вмешательства при сдвиге математического ожидания

,  (21)

 

Таблица 1. Контрольная карта  качества Шеврота для функции f(t)

	σ	ВГВ	ВПГ	μ	НПГ	НГВ	μ.t	P(%)	S
X(t)	0.119	767.750	767.731	767.671	767.611	767.592	767.731	26,9	0.0396
Y(t)	0.119	783.578	783.559	783.499	783.439	783.420	783.559	26,9	0.0396
Z(t)	0.062	69.067	69.057	69.026	68.994	68.985	2.612	26,8	0.0208

 

Карты средних квадратичных отклонений с границами вмешательства, предупреждающими границами и 15-ю выборочными средними квадратичными отклонениями изображены  на рисунках 31, 34, 37.

Рис.31 Карта СКО с границами вмешательства для X(t)

Результат: Вмешательство  при значении 13

 

Рис.32 Сдвиг для математического ожидания для X(t)

 

Рис.33 График P_E(mt) для X(t)

Рис.34 Карта СКО с границами вмешательства для Y(t)

Результат: Вмешательство  при значении 13

Рис.35 Сдвиг для математического ожидания для Y(t)

Рис.36 График P_E(mt) для Y(t)РисПР

Рис.37 Карта СКО с границами вмешательства для Z(t)