Метод подобия

 

 

 

Глава 2. Основные понятия преобразования подобия

 

1. Признаки подобия треугольников и метод подобных треугольников

 

Признаки подобия треугольников  являются обобщением признаков равенства  треугольников и приводят к новому методу – методу подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если у них соответственные  углы равны и соответственные  стороны пропорциональны.

 

Обозначение: ∆АВС~∆А₁В₁С₁.

Символическая запись определения:

∆АВС~∆А₁В₁С₁

Число k называется коэффициентом подобия треугольников.

Если k=1, то подобные треугольники окажутся равными. Поэтому равенство треугольников является частным случаем подобия треугольников.

Подобные треугольники имеют  одинаковую форму, но могут отличаться друг от друга размерами. Подобные треугольники находят большое применение в  элементарной геометрии. Как и метод  равных треугольников, метод подобных треугольников позволяет проще  и рациональнее решать многие геометрические задачи. Определение подобных треугольников  подсказывает, что метод подобия  позволяет доказать равенство углов, находить отношение сторон, находить сами стороны и т. д.

В определении подобных треугольников  указываются шесть равенств (три  равенства для углов и три  равенства для отношений сторон). Подобные треугольники можно обеспечить меньшим числом таких равенств. В признаках подобия треугольников указываются именно такие равенства. Признаки подобия треугольников являются обобщенными признаками равенства треугольников.

Теорема:

1-й признак подобия  треугольников: если две стороны  одного треугольника пропорциональны  двум сторонам другого треугольника  и углы между ними равны,  то треугольники подобны.

2-й признак подобия  треугольников: если два угла  одного треугольника равны двум  углам другого треугольника, то  такие треугольники подобны.

3-й признак подобия  треугольников: если стороны одного  треугольника пропорциональны сторонам  другого треугольника, то треугольники  подобны.

Доказательство.

1. Краткая запись теоремы  (см. рис. 1):

 

Воспользуемся теоремой косинусов. 1) Докажем, что  _{При этом учтем равенства}

А₁В₁=kАВ,

А₁С₁=kАС,

:

а) (для ∆АВС);

б) В₁С₁= (для ∆А₁В₁С₁);

в) Поэтому _.

2) Докажем равенство _:

а) (для ∆АВС);

б) (для ∆А₁В₁С₁);

в) Поэтому _.

3) Если 

4) Если  _{и , то ∆АВС~∆А1}В₁С₁.

2. Краткая запись теоремы  (см. рис. 1):

(₎ ∆АВС~∆А₁В₁С₁.

1) Ясно, что _{. Отсюда нужно доказать пропорциональность сторон данных треугольников.}

2) Воспользуемся теоремой  синусов:

а) (для ∆АВС);

б) (для ∆А₁В₁С₁, учли равенство углов А и А₁, В и В₁);

в) тогда .

3) Аналогично получаем: .

4) Итак, соответственные  углы данных треугольников равны,  а стороны пропорциональны. Поэтому  ∆АВС~∆А₁В₁С₁.

3. Краткая запись теоремы  (см. рис. 1)

_[1] 34c.

 

2. Преобразование подобия

 

Геометрические преобразования могут служить методом решения  многих задач. Этот метод называется методом геометрических преобразований. Геометрическое преобразование плоскости  – это взаимно однозначное  соответствие между точками плоскости. В геометрии принято в таком  случае говорить о взаимно однозначном  отображении плоскости на себя.

При выполнении геометрического  преобразования плоскости фигура Ф  отображается в фигуру Ф₁. При этом говорят, что фигура Ф переходит в фигуру Ф₁ при выполнении данного преобразования. В этом случае говорят также, что фигура Ф₁ является образов фигуры Ф в данном преобразовании.

Преобразование, изменяющее расстояние между точкам в k раз, называется преобразованием подобия. Число k называется коэффициентом подобия.

С преобразованием подобия  встречаются при изготовлении копий  предмета (с уменьшением или увеличением), фотографий, географических карт, планов местности и т. д.

При изучении геометрических преобразований вначале выясняют вид  преобразования: является ли оно преобразованием  подобия, или относится к другим видам преобразований. Для этого  берут две произвольные точки  А и В, а также точки А₁ и В₁, соответствующие точки А и В в данном преобразовании (точки А₁ и В₁ называются образами точки А и В), сравнивают расстояние А₁В₁ с расстоянием АВ; выясняют, сохранилось расстояние АВ или изменилось, если изменилось, то не остается ли постоянным отношение А₁В₁:АВ.

Если при преобразовании некоторые точки переходят в  себя, то они называется неподвижными точками. Наличие или отсутствие неподвижных точек также является одним из возможных свойств преобразования.

Важно знать, сохраняет ли преобразование прямолинейное расположение точек, переходит ли оно отрезок  в отрезок, луч – в луч, отрезок  – в равный отрезок, угол – в  равный угол и т. д.

При изучении преобразований существенно установить определенные закономерности в расположении соответственных  точек А и А₁, В и В₁ и т. д. Не параллельны ли отрезки АА₁ и ВВ₁, не пересекаются ли они в одной точке, не перпендикулярны ли они к одной какой-либо прямой, не лежат ли эти точки на некоторой окружности и т. д.

Следствие. Преобразование подобия прямую переводит в прямую, отрезок – в отрезок, окружность – в окружность. [1] 41c.

3. Свойства преобразований подобия

 

Число k>0 (в определении преобразования подобия) называется коэффициентом преобразования подобия. Если k=1, то преобразование подобия является движением. Это говорит о том, что движения — частный случай преобразований подобия. Поэтому общие свойства преобразований подобия справедливы и для движений.

Теоремы: 1. При любом преобразовании подобия три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А₁, В₁ и С₁, также лежащие на одной прямой (с сохранением порядка расположения точек).

2. При любом преобразовании подобия прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в отрезок.

3. При любом преобразовании подобия сохраняется отношение соответственных отрезков, треугольник переходит в подобный треугольник, угол переходит в равный угол.

Композиция двух преобразований подобия (движений) есть снова преобразование подобия (движение).

Доказательства. 1. Пусть  при преобразовании подобия точки  А, В и С, лежащие на одной прямой, перешли в точки А₁, В₁ и С₁.

 

Докажем, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на одной прямой, причем если точка С лежит между точками А и В, то точка С₁ лежит между точками А₁ и В₁.

Так как по условию точка  С лежит между точками А  и В, то

АС + СВ =АВ. (1)

Для k>0 справедливым будет и такое равенство

kАС + kСВ = kАВ. (2)

По определению преобразования подобия

kАС = А₁С₁, kСВ=С₁В₁, kАВ = А₁В₁.

Тогда равенство (2) может  быть переписано таким образом:

А₁С₁ + С₁В₁=А₁В₁. (3)

Равенство (3) означает, что  точки А₁, В₁ и С₁ лежат на одной прямой (в противном случае имели бы A₁С₁ + С₁B₁>А₁B₁, что противоречит (3)). Из этого равенства следует также, что точка С₁ лежит между точками и A₁ и В₁.

Из предыдущих рассуждений  следует, что любое преобразование подобия сохраняет порядок расположения точек на прямой.

2. а) Докажем, что образом  прямой в любом преобразовании  подобия является прямая.

Пусть при преобразовании подобия

А→А₁, В→В₁.

Из предыдущей теоремы  следует, что любая точка САВ перейдет при преобразовании подобия в точку С₁А₁В₁.

Остается доказать, что  каждая точка Х₁А₁В₁ является образом некоторой точки ХАВ.

 

 

Пусть точка В₁ лежит между точками А₁ и Х₁. На прямой АВ подберем точку X так, чтобы:

1. точка В лежала бы между точками А и X и
2. выполнялось равенство

 

Пусть X' — образ точки X в данном преобразовании подобия. Тогда

А₁Х' =kАХ = = А₁Х₁.

Так как точки Х₁ и X' принадлежат одному лучу с началом А₁ и А₁Х' = А₁Х₁, то X'= Х₁ (на основании аксиомы откладывания отрезка).

Таким образом, каждая точка  прямой А₁В₁ является образом некоторой точки прямой АB.

В итоге приходим к выводу о том, что в любом преобразовании подобия образом прямой является прямая.

б) Аналогичными рассуждениями  доказывается, что в любом преобразовании подобия отрезок переходит в  отрезок, луч — в луч.

3. Непосредственно из определения преобразования подобия следует, что любое преобразование подобия сохраняет отношение соответственных отрезков, т.е. если

АВ→А₁В₁, МК→М₁К₁, ХУ→Х₁У₁, ... , то .

Отсюда следует, что при  преобразовании подобия треугольник  переходит в подобный треугольник (в силу третьего признака подобия  двух треугольников).

Если при преобразовании подобия треугольник переходит  в подобный треугольник, то отсюда сразу  следует, что угол переходит в  равный угол.

Если преобразование подобия  оказывается движением (к = 1), то подобные треугольники оказываются равными. Это означает, что при движении треугольник переходит в равный треугольник, угол — в равный угол.

Справедливость этой теоремы  непосредственно следует из определений  преобразования подобия, движения и  композиции преобразований. [4] 150c.

 

2.4 Гомотетия как пример преобразование подобия

 

Гомотетия является еще одним  видом геометрического преобразования. Это преобразование является преобразованием  подобия. Применение гомотетии при  решении задач дает новый метод, который называется методом гомотетии.

Гомотетией с центром  О и коэффициентом k≠0 называется преобразование, при котором каждая точка Х переходит в точку Х₁ такую, что

Если k>0, то гомотетия называется положительной, если k<0, то – отрицательной.

 

Теорема: Гомотетия является преобразованием подобия.

Доказательство. Пусть при  гомотетии с центром О и  коэффициентом k точки А и В переходят соответственно в точки А₁ и В₁.

 

Точки А и А₁, В и В₁ лежат на прямых, проходящих через центр гомотетии О (так как векторы и и - коллинеарные). Рассмотрим треугольники ОАВ и ОА₁В₁. Так как у этих треугольников угол О общий, а стороны, заключающие этот угол, - пропорциональны: , то ∆ ОАВ~∆ ОА₁В₁. Поэтому . Значит, гомотетия является преобразованием подобия.

Замечание. На основании  доказанной теоремы можно утверждать, что гомотетия обладает всеми  свойствами преобразования подобия (в  частности, гомотетия сохраняет  меру угла и отношение двух отрезков). У гомотетии имеются и такие  свойства, которые нельзя отнести  к общим свойствам преобразования подобия. Например, при преобразовании подобия прямая не переходит в  параллельную прямую. При гомотетии, как это утверждается в приводимом ниже следствии, прямая всегда переходит  в параллельную прямую.

Следствие 1. При гомотетии прямая переходит в параллельную прямую.

Доказательство. Так как  ∆ОАВ~∆ОА₁В₁, то .

 

Отсюда не трудно получить, что сумма односторонних углов  при прямых АВ и А₁В₁ и секущей ОВ₁ равны 180º. Значит А₁В_1.

Следствие 2. Гомотетия не изменяет ориентацию фигур.

Доказательство. Совместим начало координат с центром гомотетии Запишем координаты треугольника АВС и ему гомотетичного треугольника А₁В₁С₁: