Особенности математической абстракции

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Самарский  Государственный Архитектурно-Строительный университет»

Кафедра « Высшая математика» 
 
 
 

                                                  

«Особенности математической абстракции». 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                     

                                                 Выполнила: студентка II курса,

                                                      гр. ЭН-94 Блинова А. А.

     Научный руководитель : к. ф-м. н,

     доцент  кафедры ВМ Фадеева О.В. 
 
 
 
 

     Самара 2011 г.

                                                 Содержание. 

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1. Природа и особенности математических абстракций………………...4

Глава 2. Основные способы математической абстракции…………………….10    

 2.1. Абстракция отождествления…………………………………………….10    

 2.2. Идеализация………………………………………………………………18    

 2.3 Абстракция осуществимости…………………………………………….22

Заключение……………………………………………………………………….29

Список  литературы………………………………………………………………30

Приложение. Исторические личности, упоминаемые в тексте ……………...31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                 
 

       

                                                     

                                                   

                                                

                                                   

                                                        Введение

      Крайняя абстрактность понятий математики и чисто логический способ получения  ее выводов не раз вызывали острые дискуссии среди ученых.

      Особую актуальность вопрос о природе математических понятий и сущности доказательств приобретает в конце XIX – начале XX вв., когда были обнаружены первые парадоксы теории множеств, связанные с применением законов формальной логики, в частности исключенного третьего закона, к бесконечным множествам. Возникли трудности при обосновании самой теории множеств, не преодоленные в настоящее время.

      Чтобы найти выход из трудностей, были предложены различные программы  обоснования математики, которые  либо отвергали канторовский теоретико-множественный подход, либо его значительно реформировали. Наиболее влиятельными направлениями обоснования математики стали логицизм, интуиционизм, формализм, а также получили распространение идеи конструктивного направления.

      Новые математические методы и идеи, выдвинутые этими школами, во многом обогатили наши знания о таких фундаментальных понятиях и методах математики, как число и фигура, множество и функция, доказательство и вывод и др. Интенсивные исследования по основаниям математики дали ценные математические результаты и пролили новый свет на многие философские и методологические проблемы математики. К их числу относится проблема абстракций.

      Данная  работа дает ответ на вопрос, какую  сторону действительности отображает математика, как совершается процесс абстрагирования в этой науке и чем он отличается от абстрагирования в других опытных науках. Рассмотрена природа математической абстракции, ее виды и связь этого понятия с понятием бесконечности, а так же актуальная и потенциальная бесконечности. 
 
 

      Глава 1. Природа и особенности математических абстракций.

      В окружающем нас мире все предметы и явления находятся в различных  взаимосвязях и отношениях друг с  другом.

      Чтобы познать сущность явлений объективного мира, законы, которые управляют  им, необходимо отделить существенные связи и признаки от несущественных, как говорят, рассмотреть явления в “чистом” виде. Признаком предметов называется то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Любой предмет имеет множество разнообразных признаков.

      К существенным признакам относятся  те, при потере которых предмет  перестает быть самим собой. А  признаки, которые могут принадлежать, но могут и не принадлежать предмету, и которые не выражают его сущности, называются несущественными.

      В опытных науках в целях рассмотрения явления в “чистом” виде обращаются к эксперименту, который всегда проводится так, чтобы обеспечить необходимый  для этого ход процесса.

      В теоретических науках нельзя пользоваться ни микроскопом, ни химическими реактивами, то и другое должна заменить сила абстракции.

      Чтобы провести математические исследования в “чистом” виде, необходимо отвлечься, абстрагироваться от других свойств  и отношений вещей. Реальные предметы не обладают в точности теми свойствами, которыми их наделяет математика. Поэтому математическая абстракция не сводится к простому отбрасыванию нематематических свойств и сохранению математических.

      Термин  “абстракция” в буквальном переводе означает отвлечение или отделение. Слово “абстракция” (от лат. термина abstractio отвлечение) ввел Боэции как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем.

      В научной литературе рассматривают  абстракцию в двух смыслах:, как способ изучения явлений, мыслительную операцию, посредством которой отвлекаются  от несущественного и сосредоточиваются на существенном, и как результат такого процесса. Отдельные понятия, суждения и умозаключения, полученные в результате процесса абстрагирования, очень часто называют абстракциями.

      В математике под абстрагированием понимают процесс мысленного выделения одного или нескольких свойств или отношений предметов, которые в данной связи рассматриваются как особо важные по сравнению со всеми другими свойствами.

      Так, например, замена реальных тел в  механике абсолютно твердыми телами, а в иных случаях – материальными точками, помогает нам глубже изучить процессы, связанные с механическим движением.

      Движение  транспорта, спутника или человека по определенному пути рассматривается  в математике как движение материальной точки по кривой или прямой линии, т. е. отбрасываются все свойства рассматриваемого объекта, кроме свойств движения.

      А работа, сила, ускорение, напряжение электрических  и магнитных полей заменяются в математике векторами, векторными величинами. Из всех свойств оставляют  для рассмотрения только величину и направление.

      Отвлекаясь  от множества свойств и отношений, мы не разрываем природных естественных связей между вещами. Сами эти связи  имеют неодинаковый характер: одни из них – более важные и определяющие, другие – менее.

      Например, рассчитывая диаметр Земли, человек мысленно рассматривает Землю как абстрактный шар, отбрасывая все иные свойства, кроме формы и размеров. Мысленно исключается бесчисленное множество свойств, при этом не нарушается ни одна группа связей и отношений (движение во Вселенной, вращение вокруг оси и др.)

      А это дает возможность отвлечься  от несущественных свойств и сосредоточиться  на изучении свойств существенных, определяющих, решающих (в данном случае существенные – форма и размер). В результате процесса абстракции возникают понятия, категории, законы, в которых как раз и отображаются существенные стороны реальной действительности.

      Специфика математики как особой науки состоит  в том, что она специально выделяет количественные отношения и пространственные формы, которые присущи всем без исключения предметам и явлениям, и делает их объектом своего исследования. Но такая широта применения математики неизбежно связана с ее абстрактностью и односторонностью.

      Обратим внимание на особенности математической абстракции, которыми она отличается от абстракции в естествознании и опытных науках.

      Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в “чистом” виде, математик должен применить абстракцию “наибольшей силы”, так как он обязан отвлечься от всех качественных особенностей и специфических свойств предметов и явлений.

      Эта особенность математической абстракции осознавалась уже античными математиками. Аристотель отмечал, что в отношении  сущего математик подвергает рассмотрению объекты, устранив все чувственные свойства, например тяжесть и легкость, тепло и холод, жесткость, окраску, сохраняет только количественную определенность и непрерывность.

      В геометрии рассматриваются пространственные числа. Но пространственные свойства материальных тел не существуют отдельно от самих тел. Они определяются внутренними и внешними связями тел.

      Для лучшего понимания мы должны абстрагироваться от всех других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела –  это крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь мы отвлекаемся от всех нефизических свойств. В понятии геометрического тела мы отвлекаемся и от физических свойств, и сохраняем лишь его пространственные свойства.

      Вторая  особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь идет часто через ряд последовательных ступеней обобщения (абстракция от абстракции).

      В простейшей форме с этим процессом можно встретиться при выяснении происхождения числа. Первоначально понятие числа не отделяется со считываемых совокупностей, затем оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.

      Более отчетливо этапы абстрагирования  выделяются в развитии такого фундаментального понятия, каким является функция.

      К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разных задачах естествознания и техники. По сути дела, большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин. Так, например, закон падения можно выразить формулой

      S = ,

      где S – путь; g – ускорение силы тяжести; t – время падения тела.

      Энергию проводника емкостью с, заряженного  до потенциала U, можно представить  в виде другой формулы, по своему математическому  виду весьма сходной с первой формулой:

      W = .

      Отвлекаясь  от конкретного содержания входящих в эти соотношения величин, мы можем выразить их в виде общей  формулы:

      y = .

      Эта функция служит объектом исследования математики. Мы не рассматриваем здесь  конкретные величины, а исследуем  лишь общую формулу их количественной зависимости, т. е. тот закон, которому подчиняется изменение одной  величины (функции) в зависимости от изменения другой.