Особенности математической абстракции

      Отношения взаимно-однозначного соответствия характеризуются  следующими свойствами.

      1. Симметричность. Если множество А эквивалентно множеству В, то множество В эквивалентно множеству А, или фигура Ф1 ~ Ф2, то Ф2 ~ Ф1.

      2. Транзитивность. Если множество А эквивалентно множеству В, а множество В эквивалентно множеству С, то множество А эквивалентно множеству С. Для фигур Ф1 ~ Ф2, Ф2 ~ Ф3 => Ф1 ~ Ф3.

      3. Рефлексивность. Каждое множество эквивалентно само себе, каждая фигура подобна себе.

      Если  между определенными объектами  существует отношение, обладающее свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности, то с помощью такого отношения  можно выделить, или абстрагировать, некоторое общее свойство, присущее всем этим объектам.

      Абстракция  отождествления используется почти  во всех математических науках. В геометрии  при вычислении площадей и объектов, исследуемые, измеряемые объекты отождествляют  с конкретными геометрическими  фигурами, отбрасывая все качественные свойства, оставляя лишь форму и размеры.

      В дифференциальном исчислении.

      Задача. Окно имеет форму прямоугольника завершенного полукругом. Определить размер окна при заданном периметре, имеющем наибольшую площадь.

      Приступая к решению задачи, мы отбрасываем все качественные свойства этого окна. Неважно, в каком здании будет сделано это окно, из какого материала, как это окно будет открываться.

      Представляя форму этого окна, отождествляем  его с геометрической фигурой, состоящей  из прямоугольника и полукруга (рис. 2).

        
рис. 2. Окно прямоугольной формы, завершенное полукругом

      Периметр  окна равен Р. Обозначаем радиус полукруга, завершающего окно, за Х. Тогда площадь окна уже зависит от размера радиуса полукруга, которым завершается окно. Следовательно, площадь – это функция от радиуса:

       .

      Решая эту задачу с помощью производной, найдем .

      Итак, окно будет наибольшей площади при  заданном периметре, если его ширина будет равна , а радиус полукруга, которым завершено окно, должен быть равен .

      В интегральном исчислении.

      Задача. Вычислить объем сосуда параболической формы, высота которого 9 масштабных единиц (рис. 3).

      Для решения задачи используется абстракция отождествления. Отбрасываем несущественные качества сосуда: материал, из которого создан сосуд, цвет, толщину стенок. Остаются только существенные для данного решения проблемы свойства: форма и объем. Рассматривая осевое сечение фигуры, поместим его в систему координат (рис. 4).

      Объем вычисляется по формуле  .

      Образующая  сосуда теперь выражена функцией y = . Интервал интегрирования составляет от 0 до 9 масштабных единиц. Таким образом,

       = (ед³).

      Отождествили  сосуд с геометрической фигурой  и вычислили его объем.

      Интегральное исчисление используется для нахождения функций издержек, прибыли, потребления и т. д.

      Покажем применение абстракции отождествления в  решении задачи о  расчете прибыли.

      Задача. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 р. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 р. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель?

      Приступая к решению этой задачи, обозначая  время переменной t, мы отождествляем  его с этой переменной. Объем картофеля  выражаем числами.

      Отвлекаясь  от всех других свойств доходов от урожая, выражаем доход как функцию от времени:

      t – время (в неделях), оптимальное  для уборки картофеля;

      (50 t) – увеличение урожайности с  одной сотки за t недель;

      (2 t) – падение стоимости картофеля  за 1 кг за t недель;

      (200 + 50 t) – общая урожайность картофеля  за t недель;

      (12 – 2 t) – стоимость 1 кг картофеля  через t недель.

      Стоимость собранного урожая картофеля есть функция  от времени t.

      Отождествим стоимость урожая картофеля с  функцией, зависимой от переменной t:

      N (t) = (12 – 2 t) (200 + 5 t).

      С помощью производной выясняем, что доход от продажи картофеля будет максимальным, если срок уборки картофеля 1 неделя.

      Абстракция  отождествления применяется широко не только в математике, но и во многих других науках. Анализируя отношения обмена товаров, К. Маркс отмечает, что это отношение можно выразить в виде уравнения, в котором определенное количество одного вида товара приравнивается к известному количеству другого.

      Так, например, один кватер пшеницы равен  a центнерам железа. Это уравнение, пишет К. Маркс, показывает нам, что в двух различных вещах существует нечто общее равной величины. Следовательно, эти вещи равны чему-то третьему, которое само по себе не есть ни первая, ни вторая из них.

      Этим  общим свойством не могут быть ни физические, ни химические, ни какие-либо другие природные свойства товаров. Маркс показывает, что таким общим свойством товаров, выражаемым в их меновом отношении, является их стоимость.

                                                  2.2. Идеализация.

      Наряду  с абстракцией отождествления при образовании исходных понятий в математике широко применяется специфический прием абстрагирования, называемый идеализацией.

      Идеализация – процесс схематического отображения  действительности.

      Если  процесс идеализации рассматривать  как процесс образования таких понятий, которые выражают не реально существующие свойства объектов, а свойства, отклоняющиеся от реальных или даже воображаемые, то с этой точки зрения идеализацию можно рассматривать как особый способ мысленного эксперимента.

      Так, в механике мы вводим понятие идеального математического маятника как некоторого предельного случая действительно существующих физических маятников. Если любой физический маятник испытывает сопротивление воздуха и сил трения, то в теории математического маятника мы отвлекаемся от всего этого. В данном случае идеальный эксперимент состоит в том, что, зная из опыта влияния различных сил, действующих на физический маятник, мы можем представить, что этих сил нет. Реальный эксперимент может дать лишь некоторое приближение к идеальному случаю. Ясно, что математический маятник может существовать лишь в абстракции.

      Многие  исходные понятия математических наук представляют такие же идеальные  объекты, например, “точка”, “прямая”, “плоскость”.

      Евклид  определяет геометрическую точку как  то, что не имеет частей и величины. Очевидно, такой объект нельзя обнаружить в природе, где любой объект не только имеет определенные размеры, но обладает еще другими физическими, химическими и тому подобными свойствами.

      При идеализации в физике мы хотя и  допускаем несуществующие значения некоторых свойств, все же не абстрагируемся от самих физических свойств. Идеализация в математике идет дальше. Здесь мы отвлекаемся от всех качеств, свойств вещей и принимаем в расчет только чисто количественные и пространственные свойства отношения предметов.

      Первоначальные понятия геометрии, как “точка”, “прямая”, “плоскость”, сформировались уже на заре развития геометрии, но выяснение процесса их формирования представляет чрезвычайно трудную задачу. По-видимому, первоначальные понятия геометрии возникали постепенно, с помощью процесса предельного перехода в мысленном эксперименте, который мы наблюдаем в физике.

      Так, практические задачи по измерению различных  площадей все больше и больше наталкивали  человека на мысль, что ширина границы площади не влияет на величину площади, которую она ограничивает. Таким путем люди постепенно границу площади отождествили с нематериальной линией и смогли прийти к первоначальному понятию прямой линии как чистой протяженности, т. е. линии лишенной толщины. Понятие точки могло быть образовано путем неограниченного уменьшения размеров тела.

      Неслучайно  поэтому такого рода описательные определения  встречаются в “Началах” Евклида.

      Идеализация имеет место у средних пифагорейцев. Знаменитый скульптор Поликлет написал трактат “Канон”, в котором установил, что красота тела человека состоит в симметрии его частей, в числовых соотношениях между их величинами. Он создал статую идеального человека, которую также назвал Канон. Поскольку Поликлет нашел сущность красоты в числе, то его относят к пифагорейцам. Но статуя погибла. От трактата сохранились значительные отрывки.

      Идеализация используется там, где сложность  реальных явлений представляет значительные трудности для исследования. Например, если в задачах небесной механики заменить планеты материальными точками, решение их значительно упрощается.

      Особой  разновидностью идеализации является метод идеальных элементов, который  играет очень важную роль в построении математических теорий. Чтобы придать  общность и законченность теории и упростить ее форму, в математике очень часто наряду с исследуемыми реальными объектами теории вводят новые “идеальные” элементы.

      По  существу, с этим методом мы встречаемся  уже в элементарной геометрии  и алгебре. Обратимся к некоторым  примерам. Из геометрической аксиомы “через две точки всегда проходит одна и только одна прямая”, можно вывести следствие, что две прямые пересекаются не более чем в одной точке. Однако, оставаясь в рамках первоначальных объектов геометрии, нельзя утверждать, что две прямые пересекаются в одной точке – они могут быть и параллельными. Если же мы примем, что параллельные линии пересекаются в бесконечно удаленной точке, тогда наше утверждение окажется справедливым и получит необходимую общность. Но мы не должны забывать, что бесконечно удаленная точка, прямая и плоскость являются идеальными элементами, в то время как обычные точки, прямые и плоскости Евклидовой геометрии являются реальными объектами теории. С помощью введения идеальных элементов досчитывается симметрия между точками и прямыми, и как следствие ее возникает принцип двойственности, который оказался чрезвычайно ценным в геометрии.

      Мнимые  и комплексные числа в алгебре  впервые были введены как идеальные  элементы теории. Сначала с их помощью  стало возможным обосновать единый алгоритм решения кубических уравнений. Затем их введение помогло упростить формулировку теорем о числе корней алгебраического уравнения; утверждения о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет n корней, требует рассмотрения не только действительных, но и комплексных чисел.

      Действительно, ограничиваясь областью вещественных чисел, мы должны сказать, что квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, дискриминант которого b² – 4 a c < 0, не имеет корней. Математики раньше так и поступали, пока не стали рассматривать квадратные корни из отрицательных чисел как новые, “мнимые” числа.

      В теории чисел замечательным примером идеального элемента может служить  числовой идеал, который объединяет в единое целое определенные бесконечные  системы чисел. 
 

                                    2.3. Абстракция осуществимости.

      Абстракции  осуществимости связаны с образованием различных понятий математической бесконечности.