Особенности математической абстракции

      В математике мы изучаем различные  виды функции (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы  иметь возможность рассуждать о  любых функциях, мы должны отвлечься  от конкретных особенностей перечисленных функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это уже следующий этап абстрагирования, т. е. абстракция от абстракции.

      Процесс обобщения в математике таких  понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и других проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.

      Во  всей истории математики выделяется три больших исторических этапа  в развитии ее абстракции.

      На  первом этапе, (возникновение геометрии  и арифметики), отвлекаются от конкретной качественной природы объектов.

      На  втором этапе вводится буквенная  символика и происходит переход  к алгебре, стали отвлекаться  от конкретных чисел и величин.

      На  третьем этапе уже отвлекаются  не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними.

      Например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, событий, предложений. Таким образом, здесь переменными  становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.

      Третья  особенность математической абстракции состоит  в значительном использовании  так называемых идеальных  объектов – точки, прямой, плоскости, евклидовой геометрии, которые  представляют идеальные  объекты, образующиеся посредством идеализации.

      Если  идеализацию понимать шире, а именно как процесс образования таких  понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие  у них, тогда можно будет с  известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно идеальные математические объекты. Эти объекты – не плод чистой фантазии, они, как и математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует этими понятиями именно как идеальными объектами.

      Четвертая особенность –  использование различных  абстракций осуществимости.( См. Главу 2 п. 2.3)

      Пятая особенность состоит  в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув  на базе опыта и  практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

      Действительно, в математике мы повсюду оперируем  одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а не к  эксперименту.

      Шестая  особенность математического  познания – это широкое использование символического языка и алгоритмических процессов.

      Учитывая  указанные особенности, мы имеем  возможность выйти на очень высокий  уровень абстракции, что позволит осознать закономерности процессов  или явлений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             Глава 2. Основные способы математической абстракции.

      Рассмотрим  основные способы абстрагирования, которые используются в математике и с помощью которых происходит образование таких исходных понятий  математики, как число, фигура и т. д.

      Наиболее  распространенными способами абстрагирования в математике являются абстракция отождествления, идеализация, различные абстракции осуществимости, которые играют важную роль при образовании различных понятий математической бесконечности.

                                2.1. Абстракция отождествления.

      Наиболее  фундаментальной является абстракция отождествления, с помощью которой  выделяется свойство или отношение, общее всех исследуемых предметов. Именно поэтому такую абстракцию называют обобщающей.

      Чтобы лучше понять суть абстракции отождествления, обратимся к процессу образования натурального числа, которое исторически и логически представляет исходный пункт развития всей математики.

      Для современного человека понятие числа  кажется очень привычным, хотя и  не всегда ясно осознаваемым. Ему кажется само собой разумеющимся, что любая операция сравнения и счета предметов уже предполагает существование натуральных чисел. Между тем факты истории убедительно показывают, что в развитии общества был такой период, когда люди не имели еще сколько-нибудь оформленного представления о числе и все-таки справлялись с операцией сравнения и счета, различных совокупностей или, как мы будем говорить дальше, множеств вещей. Понятие числа появляется значительно позже, поскольку оно предполагает уже развитую способность к абстрактному мышлению.

      Когда мы говорим о каком-либо числе, то ясно представляем, что с этим числом можно соотнести различные множества  вещей. Например, число пять может означать количество пальцев руки, лепестков цветка, вершин пятиугольника и т. д. В этом понятии отображается определенная количественная особенность этих множеств. Несмотря на качественно различную природу составляющих множества элементов, все они имеют общее свойство, характеризуемое числом пять.

      Каким путем люди в процессе практической деятельности пришли к абстрагированию такого общего свойства множеств, каким является число?

      Понятно, что такое отвлечение нельзя было осуществить без наличия определенных множеств вещей. А чтобы сравнить два множества вещей, надо сопоставить их элементы, т. е. установить взаимно однозначное соответствие между элементами различных множеств (рис. 1).

        
                          рис. 1. Взаимно однозначное

      Например, если каждому пальцу нашей руки сопоставить  один и только один предмет, то можно  установить соответствие: множество,

состоящее, скажем, из пяти коров, будет эквивалентно множеству пальцев на руке.

      В принципе, сравнить множества можно, не прибегая к помощи чисел.

      Первоначально люди не отделяли свойства от самих пересчитываемых предметов. Вместе с тем они уже могли устанавливать равночисленность одного множества другому путем сравнения их элементов. Не отдавая себе в том отчета, устанавливая равночисленность элементов одного множества с другими путем сравнения, люди использовали алгоритм сравнения, то есть абстракцию отождествления.

      Алгоритм  сравнения.

      1. Выявление множества предметов,  обладающих определенным свойством.

      2. Выбор множества объектов, которое  может образно служить эквивалентом.

      3. Сопоставление объектов первого  множества со вторым с целью  выявления черт сходства.

      Обобщение – умозаключение по аналогии сравниваемых множеств.

      В истории формирования понятия натурального числа выделяется четыре этапа.

      Первый  этап начинается с установления равночисленности различных множеств вещей. Здесь  общее свойство эквивалентных множеств полностью ассоциируется с конкретной природой сравниваемых множеств (коров  столько же, сколько пальцев на одной руке). При этом, устанавливая взаимно однозначное соответствие, необходимо иметь перед глазами перечисляемые предметы. Если количество коров выходит за пределы количества пальцев рук и ног, то обозначается словом “много” или “куча”.

      На  втором этапе, численность какого-либо определенного множества выражается через целый ряд других эквивалентных  ему множеств. Здесь общее свойство всех множеств начинает уже осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества. Так, например, чтобы сообщить, что в каком-то месте пасется стадо из десяти животных, можно это выразить с помощью двух рук, десяти камешков, ракушек или палочек.

      На  третьем этапе множество выступает  в качестве своеобразного эталона  количества, это общее свойство начинает отличаться от всех особенных свойств множеств.

      Дальнейшее  развитие обмена между людьми наталкивалось  на то неудобство, что у одних  племен в качестве эталона сравнения  были палочки, у других – ракушки, у третьих – камешки и т. д.

      Под влиянием потребности обмена, развития экономической жизни, постепенно одно определенное множество начинает выступать в качестве представителя количества всякого множества.

      И только на четвертом этапе общее  свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в “чистом” виде,  
т. е. как абстрактное понятие натурального числа.

      Теперь  в качестве эталона количества выступают  уже сами натуральные числа. Действительно, начиная счет, мы теперь соотносим каждый предмет отсчитываемого множества к определенному числу натурального ряда, именно к тому, которое служит его номером.

      Абстракция  отождествления использовалась, по существу, уже в античной математике, к ней  прибегают и Евдокс, и Евклид в  тех случаях, когда они не могут  установить непосредственное значение какого-либо геометрического отношения.

      А пифагорейцы, связав философию с  математикой, поставили вопрос о  числовой структуре мироздания, используя  абстракцию отождествления следующим  образом: тезис Пифагора – “Самое мудрое – число”, является центральным в философском обосновании мироздания.

      Число владеет всеми вещами, в том  числе и нравственными, и духовными  качествами. Полемизируя в этом вопросе  с Пифагором, Аристотель сообщает, что  Пифагор учил: “Справедливость есть число, помноженное само на себя”. “Душа есть гармония”. Но гармония – это числовое соотношение. И здесь мы находим число.

      Есть  сведения о том, как Пифагор пришел к своей идее, которая стала  основной идеей пифагореизма, что  число – основа всего сущего. Эти основания эмпирические. Ямвлих (IV в. н. э.) и Боэций (конец V – начало VI в. н. э.) рассказывают: проходя как-то мимо кузницы, Пифагор заметил, что совпадающие удары не одинаковых по весу молотов производят гармоничные различные созвучия. Вес молотов можно измерить. Таким образом, качественное явление (созвучие) можно измерить, оно точно определяется через количество. Отсюда Пифагор сделал вывод: “Число владеет… вещами”.

      Занимаясь числами, Пифагор продвинул эту  науку вперед, “освободив ее от служения делу купцов”. А о геометрии у  неоплатоника Прокла

(V в.  н. э) сказано об этом еще  сильнее: “Пифагор преобразовал  геометрию, придав ей форму  свободной науки, рассматривая  ее принципы чисто абстрактным  образом и исследуя теоремы  с нематериальной стороны, с  интеллектуальной точки зрения”.

      Число у Пифагора было положено в основу Космоса. Эту идею развил Гиппас из Метапонта. Гиппас учил, что число – первый образец творения мира.

      Нельзя  не упомянуть философа-математика Эврита, который довел учение пифагорейцев о числе до крайности. Он пытался найти собственное число для каждого вида, изображая этот вид (например, человека) разнообразными камешками (мозаика). Число вида определяется тем числом этих камешков, которые понадобятся то ли для заполнения контура типичного изображения того или иного животного или человека, то ли для заполнения всей площади изображения.

      Исторический  экскурс в генезис понятия  числа следует дополнить его  логическим определением. В наиболее отчетливой форме такое определение  было дано немецким математиком и  логиком Готлобом Фреге. Впоследствии его определение было переоткрыто Б. Расселом. В основе определения числа, данного Фреге и Расселом, лежит понятие взаимно-однозначного соответствия.

      Два множества подобны или эквивалентны, если между ними может быть установлено  взаимно-однозначное соответствие. Каждому элементу одного множества ставится в соответствие один и только один элемент другого множества.

      Как определяет Рассел, число – “класс всех тех классов, которые подобны  ему”.

      Итак, все множества сравнивают с одним  и тем же множеством-посредником, т. е. множеством натуральных чисел.

      На  примере образования числа можно  раскрыть особенности абстракции отождествления, которая играет важную роль в математике.

Эта абстракция начинается с установления отношения  типа равенства между исследуемыми множествами объектов. Для определения числа мы рассматриваем отношение взаимно-однозначного соответствия между множествами. Чтобы определить понятие геометрической фигуры, мы должны рассмотреть отношение подобия фигур. Для определения сравнения числа по некоторому модулю мы должны исследовать отношения сравнения.