Применение производных в различных задачах естествознания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра математического  анализа 

и прикладной математики

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по математическому  анализу

 

ПРИМЕНЕНИЕ  ПРОИЗВОДНЫХ В РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧАХ  ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 22 группы ФМФ

                                                                                                           Костина Ольга

 

Научный руководитель:

кандидат физ. мат. наук, доцент

Власов Э.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курск 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………………3

1. Определение производной……………………………………………………………...5

1.1 Геометрический смысл производной…………………………………………………7

1.2 Механический смысл производной…………………………………………………...8

2. Задачи из разных областей естествознания……………………………………………9

2. 1 Использование производной для решения задач по биологии……….…………….9

2.2 Использование производной для решения задач по химии......…………...……….12

2.3 Использование производной для  решения задач по географии……………………14

2.4 Примеры решения прикладных задач……………………………………………….15

2.5 Использование производной для  решения задач по физике……………………….17

2.6 Решение экономических задач……………………………………………………….21

2.7 Задачи на отыскание наибольшего  и наименьшего значений величин…………...25

Заключение………………………………………………………………………………..27

Список литературы……………………………………………………………………….28

 

Введение

 

Тема исследовательской  работы выбрана не случайно, поскольку применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.

Целью работы было: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная».При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого используется понятие производной.

Физические производные  величины:

υ(t) = х^/(t) – скорость

a (t)=υ^/ (t) - ускорение

J (t) = q^/(t) - сила тока

C(t) = Q^/(t) - теплоемкость

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K (t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Производная в экономических  формулах:

П (t) = υ ^/ (t) - производительность труда,

где υ (t) - объем продукции

J(x) = y ^/ (x) - предельные издержки производства,

где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

 

1. Определение производной

 

Заметим, что при определении  касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:

1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.
2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.
3. Приращение функции делят на приращение аргумента.
4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

К предельным переходам  такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.

Скорость изменения  функции в зависимости от изменения  аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной

Определение 3. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1 Геометрический смысл производной

 

Рассмотрим график функции  у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;          ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет  приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу  при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x₀), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по  определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит,  k = tga = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл  производной заключается в следующем:

Производная функции  в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

 

 

 

 

 

 

1. 2 Механический смысл производной

 

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задачи  из разных областей естествознания

2.1 Использование производной для решения задач по биологии.

 

Биологический смысл производной.

Пусть зависимость между  числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а  Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.

Задача 1.

По известной зависимости  численности популяции x (t) определить относительный прирост  в момент времени t.

 

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

 

Решение:

 

Понятие на языке биологии	Обозначение	Понятие на языке математики
Численность в момент времени t1	x = x(t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2 – t1	Приращение аргумента
Изменение численности  популяции	∆x = x(t2) – x(t1)	Приращение функции
Скорость изменения численности популяции	∆x/∆t	Отношение приращения функции  к приращению аргумента
Относительный прирост  в данный момент	Lim     ∆x/∆t    t      0	Производная

 

 

Р = х’ (t)

 

Задача 2.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

Решение:

0<x<а. 

Значит f'(x)=2ax-3x² .

Тогда   . - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо 
воздействиям.

 

 

 

 

Задача 3.

В среду с определёнными  условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность  популяции возрастает по закону: , где t выражено в часах. Найти максимальный размер этой популяции до момента её угасания.

Решение:

Найдём производную от функции z(t):

;

, но – 1 не удовлетворяет условию  задачи, значит необходимо рассмотреть  поведение производной функции в окрестности точки 1.

Видно, что 1  –  точка максимума.

А это и говорит о том, что  в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер).

Тогда, (бактерий).

Ответ: 150 бактерий.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 2 Использование производной для решения задач по химии.

 

Химический смысл производной.

Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm  величины  m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении tΔ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени .

Задача 1.

 При изучении свойств концентрированной серной кислоты учитель поместил медный кубик с ребром 5 см в раствор кислоты. Через некоторое время масса кубика уменьшилась на 0,96 г. Требуется определить, на сколько уменьшились размеры куба, то есть, на сколько укоротилось его ребро, если плотность меди равна 8 г/см³. (Медь переходила в раствор с каждой грани равномерно).

Решение:

 Т.к. медь переходит в раствор  с каждой грани равномерно, то  в определённый момент реакции в кислоте будет присутствовать куб, но уже меньших размеров.

Пусть х  –  ребро куба, тогда объём куба равен V = x³. Т.к. , то изменение объёма куба см³. Считая приближённо    –  изменение длины ребра куба) и учитывая, что , имеем: . 
Следовательно,  (см).

Ответ: 0,0016 см.

 

 

 

 

 

Неоспоримый положительный эффект достигается при решении задач  по применению показательной функции. Например, подобные задачи можно рассматривать при нахождении температурного коэффициента скорости химической реакции (а также всего того, что непосредственно связано с ним). Из химии известна формула: , где – температурный коэффициент, и –  время реакции при температурах t₁ и t₂, и –  скорости реакций, выражается в секундах.

Задача 2.

При температуре t₁ реакция протекает за 25 минут, а при температуре t₂ –  за 4 минуты. Рассчитайте разницу между температурами t₁ и t₂, если температурный коэффициент реакции равен 2,5.

Решение.

В силу того, что  (минут) = 1500 (секунд), а (минуты) = 240 (секунд), имеем .

Тогда (т.е. задача свелась к решению простейшего показательного уравнения). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Использование производной для решения задач по географии.