Применение производных в различных задачах естествознания

 

Задача 1.

 

Вывести формулу для  вычисления численности населения  на ограниченной территории в момент времени t.

 

Решение:

 

Пусть у=у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост  населения за  Dt=t-t0

Dy=k y Dt, где к=кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости,

кс – коэффициент  смертности)

Dy/ Dt=k y

При Dt®0 получим lim Dy/ Dt=у’

                             

  у’=к у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Примеры решения прикладных задач

 

 

Нахождение  наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач.

 

Задача 1.

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Задача 2.

Требуется построить  открытый цилиндрический резервуар  вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение:

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара

 

 

С другой стороны, по условию  , откуда

Подставляя в (*), находим

 

 

Полученную функцию  нужно исследовать на экстремум при х>0:

 

Единственный положительный корень производной – это точка Она и дает решение задачи. При этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Использование производной для решения задач по физике.

Физический  смысл производной.

 

  Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ∆t → 0.

lim Vср (t) = n(t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀,  ∆t → 0.

а lim  = ∆x/∆t = x'(t₀) (по определению производной).

Итак, n(t) =x'(t).

Физический  смысл производной заключается  в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется  в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = n'(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон  движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ'(t) - угловая скорость,

ε  = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон  распределения массы неоднородного  стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x Î [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной  решаются задачи из теории упругости  и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω²x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ₀ - начальная фаза.

 

 

Решение физических задач, связанных с нахождением  скорости, ускорения и т.д.

 

Задача 1.

Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.

Решение:

Скорость это производная  пути по времени. Значит:

Подставив значение времени  получим:

Задача 2.

Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).

Решение:

Скорость это производная  пути по времени. Значит: .

Подставив значение времени  получим 

Задача 3.

Тело движется прямолинейно по закону Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.

Решение:

Формула нахождения кинетической энергии: .

Найдем скорость тела. , .

Кинетическая энергия  тела составит: .

 

 

 

 

 

Задачи по физике на нахождение максимума и минимума

Задача 1.

 

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В  и внутренним сопротивлением r = 50

Ом подключен  к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление

R потребителя,  чтобы потребляемая им мощность  была наибольшей?

Решение:

По закону Ома сила тока в цепи есть   

 

выделяемая  в потребителе мощность P=I²R, то есть

 

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной:   

P’(R) = 0 :  r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция  P(R) принимает наибольшее

значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при

сопротивлении R =50 Ом.

 

Ответ: 50 Ом

 

     Задача 2.       

 Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8.      

 

Решение:     

Пусть источники находятся в точках А и B, причем в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что точка С наименее освещена и отстоит от точки А на расстоянии х (Смотри рисунок), тогда СВ =. Если силу света более сильного источника принять за , то сила света другого источника будет .     

Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна  силе света и обратно пропорциональна  квадрату расстояния от точки до источника  света, то, учитывая, что выбранная  точка освещается обоими источниками  света, функция освещенности в зависимости  от расстояния примет вид .      

Находим производную  и приравниваем ее к нулю, откуда или.      

Таким образом, наименее освещенная точка  отстоит от источника А на расстоянии = 15м.     

Докажем это. Возьмем вторую производную  от освещенности . Нетрудно заметить, что при, следовательно, точка С есть точка минимума функции. 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6 Решение экономических задач

Применение  производной в экономической  теории.

 

Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x₀) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли  за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным  уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое важное понятие  теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы.  Средние издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции  также находит свою интерпретацию  в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция  полезности U= U(x), где  х  - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

 

 

 

 

 

Задача 1.

 Цементный завод  производит Х т. цемента в  день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком  объеме производства удельные затраты  будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х³+98х²+200х. Удельные затраты составят К/х=-х²+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и  наименьшего значения функции У= -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая  точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением  объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость  между ценой единицы товара и  количеством товара, которое потребители  готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией ,

Данная функция исследуется  с помощью производной:

Производная меньше нуля, если   P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее.

Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет:

(Денежных единиц), где  . Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции:  положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения   , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.