Применение производных в различных задачах естествознания

 темп положительный              темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция  возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и  построим график.

p	(0, 1/2)	1/2
U'(p)	+	0	-	-0,47	-
U''(p)	-		-	0	+
U (p)	возрастает выпукла	0,3 max	убывает выпукла	0,2 точка перегиба	убывает вогнута

 

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция  возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом , а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке  график перегибается (см. на рисунке):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 7 Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

 

Задача 1.

       Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома . Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение: Пусть ширина участка x м, а площадь у м2, тогда:

y = (60-2x)x = 60x - 2х2

Значения x и y не могут  быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0<x<30.

Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания  и убывания:

y' = 60 - 4x.

y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.

Если ширина х =	0	5	10	15	20	25	30
то площадь y =	0	250	400	450	400	250	0

Кривая (черт.) поднимается  от начала 0 до точки М(х= 15), а затем  начинает падать. В точке х= 15 функция  имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка  наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x = 60 -- 30=30 (м)

Задача 2.

Каковы должны быть размеры  прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение:

 Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция  длины x, определенная для всех положительных  значений x:

0<x<+∞

Определим промежутки ее возрастания и убывания:

y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.

Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке

0<x<6 y'<0, а в промежутке 6<x<+∞ y'>0.

Периметр убывает в  промежутке 0<x<6 и возрастает в  промежутке 6<x<+∞. График (черт.) построим по таблице:

Если х =	→0	3	4	5	6	7	8	→∞
То у =	→∞	30	26	24,4	24	24,3	25	→∞

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

 

Заключение

 

      

При написании своей курсовой работы я вновь удостоверилась в том, что математический анализ, как и  любая другая наука, упрощает нашу жизнь, делает ее лучше с каждым новым  открытием, с каждым новым доказательством. И развитие дифференциального исчисления не исключение.      

В наше время, в связь с научно-техническим  прогрессом, в частности с быстрой  эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более  актуальными в решении как  простых, так и сверхсложных задач. Применение производной довольно глубоко вписалось в нашу жизнь, и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попыталась раскрыть некоторые моменты.     

В процесс работы, по решению мной поставленной задачи, я рассмотрела ряд задач из различных областей науки и техники, подтверждающие широкое применение производной в таких науках как физика, химия, биология, и экономика. Изучила историю развития производной и дифференциального исчисления в целом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

 

1. М. Я. Выгодский  «Справочник по высшей математике»- М. : ACT: Астрель, 2006.

2. Л. Д. Кудрявцев  «Курс математического анализа» : учебник для вузов / Л. Д. Кудрявцев . - М. : Высш. шк., 1988.

3. Волькенштейн В.С. «Сборник задач по общему курсу физики» М., 1979 г.

4. «Математический энциклопедический словарь.»/Гл.ред. Ю.В.Прохоров.-М:Сов.энциклопедия, 1988.-847 с.

5. «Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов.»/Под ред. Б.П.Демидовича- М: Физматгиз, 1963 г. 472 стр.

6. «Элементы высшей математики»: сб. заданий для практ. занятий: Учеб. Пособие/ С.В.Сочнев.-М: Высш.шк., 2003 г.- 192 с.

7. А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра «Математика в экономике» - Издательство: Финансы и статистика, 2007 г.