Применение теории вероятности в вычислениях надежности

Министерство  сельского хозяйства РФ

ФБГОУ ВПО

«Тюменская  государственная сельскохозяйственная академия»

Институт  экономики и финансов

Кафедра математики 
 
 
 

РЕФЕРАТ

по теме:

ПРИМЕНЕНИЕ  ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ  НАДЕЖНОСТИ 
 
 
 
 
 

Руководитель                       Л. И. Якобюк

Исполнитель М.Н. Дмитриева, 422 группа  
 
 
 
 
 
 
 

Тюмень 2011

Содержание  

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Дискретные распределения случайных величин в теории надежности………..4

1.1 Распределение Пуассона………………………………………………………...5

1.2 Биномиальное распределение (распределение Бернулли)……………………6

1.3 Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)……8

1.4 Геометрическое и гипергеометрическое распределения……………………...8

2. Непрерывные распределения случайных величин в теории надежности……10

2.1 Экспоненциальное (показательное) распределение………………………….10

2.2 Распределение Вейбулла………………………………………………………11

2.3 Нормальное распределение (закон Гаусса)…………………………………...12

2.4 Логарифмически нормальное распределение………………………………...15

2.5 Распределение по закону равной вероятности……………………………….17

2.6 Распределение Рэлея…………………………………………………………...18

2.7 Распределение Стьюдента (t-распределение)………………………………...19

2.8 Распределение Фишера- Снедекора…………………………………………..20

Заключение…………………………………………………………………………22

Список  литературы…………………………………………………………………23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     В теории надежности приходится иметь дело с двумя классами случайных величин - дискретными и непрерывными. Примеры дискретных случайных величин: число отказов или число восстановлений объекта за заданное время. Примеры непрерывных случайных величин: наработка объекта до отказа, наработка объекта между двумя отказами, время восстановления, ресурс. В соответствие с этим в реферате рассмотрим два класса распределений: дискретные и непрерывные.

     Центральным понятием теории  надежности является понятие  «отказов», заключающийся в нарушении  работоспособного состояния объекта.  Хотя сам факт отказа объекта - явление детерминированное, но неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей среде процессов приводят к вероятному характеру отказов, то есть отказ объекта может быть вызван разными причинами и иметь различный характер и природу. Так как появление отказа – величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с применением разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в теории надежности методов теории вероятностей.

     Цель реферата состоит в изучение применения теории вероятностей в вычислениях надежности.

     Исходя из этого, выстраивается  ряд задач, а именно:

    1.Ознакомиться основными характеристиками случайных величин, используемых в теории надежности;

    2. Изучить дискретные, непрерывные модели надежности технических систем;

   3. Выражать одно значение показателей из другого;

   4. Проанализировать применение в вычислениях надежности методов теории вероятности. 

1. Дискретные распределения случайных величин в теории надежности 

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение из дискретного или непрерывного ряда, причём неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть либо дискретной (число отказов за время t, число отказавших изделий при испытании заданного объёма и т. д.), либо непрерывной (время работы изделия до отказа, время восстановления работоспособности).

     Закон распределения случайной величины – соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

      Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность p того, что случайная величина Х меньше некоторой текущей переменной х.

     Функция распределения случайной величины Х (интегральный закон распределения) – функция вида F(x) = p(X < x).

     Плотность распределения непрерывной случайной величины Х (дифференциальный закон распределения) – производная от функции распределения

                                                             (1.1)

     В теории надёжности за случайную  величину обычно принимается  время работы объекта (время  до возникновения отказа). В этом  случае:

– функция  распределения

  ;

– плотность  распределения

  ;

– вероятность  безотказности изделия за время  t

   ;

– интенсивность  отказов (условная плотность вероятности  отказов):

   .

     Случайное событие – событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы.

    Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений изделие(техническое устройство) может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное).

     Случайный процесс – переход объекта (элемента, системы) из

одного  состояния в другое под влиянием ряда случайных факторов.

     Дискретные модели надёжности – это дискретные распределения, которые описывают случайные величины, принимающие конечное или счётное множество значений (число отказов, число исправных или отказавших элементов и др.).  

1.1 Распределение Пуассона 

      Если случайная величина принимает  только целые неотрицательные  значения с вероятностями

                                                                                (1.2)

то такая  величина распределена по закону Пуассона, (здесь λ– параметр распределения, e– основание натурального логарифма).Функция распределения представляет собой лестницу с бесконечным множеством ступеней, начинающихся в неотрицательных целочисленных абсциссах.

     Распределение Пуассона нашло широкое применение при расчёте количественного состава запасных частей и определении вероятности восстановления сложных систем.

Распределение Пуассона представляет также распределение  чисел случайного события за время τ. Вероятность возникновения случайного события за время τ

        ,                                                                                     (1.3)

где λ – интенсивность случайного события.

     Свойства распределения следующие:

     1) математическое ожидание числа событий за время τ равно λτ;

     2) среднеквадратичное отклонение числа событий σ = √λτ

     Характерный признак распределения Пуассона – равенство математического ожидания и дисперсии. Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распределением Пуассона.

      Распределение Пуассона может являться аппроксимацией гипергеометрического и биномиального распределений при pN , n → , p→ , и при p < 0,1       p → , и при p < 0,1. В последнем случае распределение Пуассона получается, когда n → , а в пределе пр =λ = const ( закон малых чисел).С ростом величины λ распределение становится колоколообразным асимметричным. Для λ > 9 распределение Пуассона приближённо можно заменить нормальным с параметрами a = λ и = λ.

     Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдёт, два, три и т. д. отказов. 

1.2 Биномиальное распределение

(распределение Бернулли) 

Определяется  вероятность k успешных испытаний из общего числа испытаний n, если известно, что вероятность одного успешного испытания равна р, или число k исправных элементов системы, состоящей из n элементов, если вероятность безотказной работы каждого элемента равна р:

          ,                   (1.4)

где – число сочетаний из n по k.

     Свойства распределения следующие:

     1) число событий n – целое положение число;

     2) математическое ожидание числа событий равно np;

     3) среднеквадратичное отклонение числа событий σ = √пр(1- p) .

     Биномиальное распределение устойчиво,  то есть воспроизводится вновь,  если случайная величина x является  суммой независимых случайных  величин. Математически это можно  записать таким образом:

                                             (2.5)

     Биномиальный закон распределения широко применяется в технике при оценке надёжности по результатам испытаний или эксплуатации систем, работающих в циклическом режиме.

     При достаточно большом числе n и малых значениях р биномиальное распределение хорошо аппроксимируется распределением Пуассона с параметром λ = nр и ошибкой аппроксимации порядка

                                                                                              (1.6)         

или нормальным распределением: 

     ,                                               (1.7)

где Ф(z) – нормированная функция Лапласа.

     Биномиальное распределение характерно для вероятности появления в объекте k дефектов за время или наработку t, если известно, что вероятность появления дефекта в одном из n интервалов t/n равна p. При n можно использовать распределение Пуассона (2.5) в виде:

                 (1.8)

     При k = 0 это распределение можно рассматривать как вероятность безотказной работы за время t:

     P(k = 0) = ,

причём  в этом случае параметр λ представляет собой интенсивность отказов. 

1.3 Отрицательное биномиальное распределение

(распределение  Паскаля) 

     В этом случае вероятность безотказной работы определяется выражением:

                                                                               (1.9)