Применение теории вероятности в вычислениях надежности

которое используется, например, для определения вероятности числа неисправных изделий n, предшествующих k-му исправному состоянию, или для планирования выпуска изделий с заданным числом исправных при известной вероятности брака p.

     При k = l отрицательное биномиальное распределение приобретает вид геометрического распределения. 

1.4 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 

     Геометрическое распределение можно применять, когда опыты проводят до тех пор, пока желаемое событие не произойдёт. Вероятность того, что для получения интересующего результата потребуется x испытаний, содержится в геометрическом распределении

                                                                         (1.10)

     Для этого распределения среднее a 1/p, дисперсия   = (1 – p)/

     Гипергеометрическое распределение используется для определения надёжности продукции при выбранном контроле качества и определяет вероятность числа дефектных изделий k в выборке объёма n из партии объёмом N, содержащей M дефектных изделий:

     . (1.11)

     Для гипергеометрического распределения среднее и дисперсия соответственно равны

  .

     Данное распределение сходится к биномиальному при N , когда n и M/N – постоянные. Приближение приемлемо для 10n < N. Таким образом, для биномиального приближения при N и M/N ~p имеем

                                              (1.12)

     Этот закон применяется для определения бракованности или годности партии деталей по некоторой выборке.

     Гипергеометрическое распределение хорошо согласуется с практикой в том случае, когда M значительно меньше N, и n мало по сравнению с N. Очевидно, что в этом важном для теории надёжности случае k может принимать значения: 0, 1, 2, ..., min(M, n). При массовом производстве это распределение используют для определения вероятности того, что в выборке n деталей окажется k бракованных, по которым принимают решение о принятии или непринятии всей партии деталей. 
 
 
 

2. Непрерывные распределения случайных величин в теории надежности 

   В теории надёжности непрерывной случайной величиной является время или наработка – наработка до отказа, время безотказной работы, наработка на отказ, время восстановления и др.

      В качестве непрерывных моделей надёжности в этих случаях используются непрерывные законы распределения случайных величин. 

2.1 Экспоненциальное (показательное) распределение 

     Это наиболее простая и одна из самых используемых моделей наработки на отказ, которая получается из выражения основного закона надёжности при постоянном значении интенсивности отказов λ = const:

                     (2.1)

      Математическое ожидание и дисперсия связаны с интенсивностью отказов соотношениями 1/λ и 1/ . Из приведенных зависимостей видно, что коэффициент вариации в этом законе – величина постоянная, равная единице.

      Это распределение часто используют в проектных расчётах надёжности на стадии разработки сложных систем. Оно однопараметрическое (имеется один параметр λ). Функция и плотность распределения показаны на рис.2.1, которые при t > 0 выражаются уравнениями, соответственно:

                                                                                                    (2.2)

                                                                                                       (2.3)

    

      Рис. 2.1. Вид функции F(t) и плотности f(t) экспоненциального распределения

     Широкое использование экспоненциальной модели объясняется, в первую очередь, тем, что она описывает период нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказов λ примерно постоянна и старение объекта мало сказывается на его надёжности. Экспоненциальное распределение типично для технических систем, состоящих из большого числа элементов с различными распределениями наработки до отказа.

     Для сложной механической системы при независимых отказах элементов, имеющих экспоненциальное распределение, отказы самой системы также имеют показательное распределение, причём общая интенсивность отказов равна сумме интенсивностей выходов из строя элементов.

     Кроме того, экспоненциальное распределение описывает функционирование объекта под действием пуассоновского потока импульсов нагрузки, обусловливающего отказы сложных систем с восстановлением элементов. Экспоненциальное распределение можно также рассматривать как предельное для распределения Пуассона и геометрического распределения.

      При использовании экспоненциальной модели в качестве характеристики наработки объекта на отказ величину можно рассматривать как среднюю наработку и тогда выражение (2.1) запишется в виде

                                                                                                         (2.4)

     Важным свойством экспоненциальной модели надёжности является то, что вероятность безотказной работы и вероятность отказа в интервале времени (t; t + ∆t) (то есть P(t; t + ∆t) и Q(t; t + ∆t) = 1 –P(t; t + ∆t)) зависят только от длины этого интервала ∆t и не зависят от предшествующего времени t. Это свойство в значительной степени ограничивает возможности использования этой модели – она применяется, если необратимые изменения (старение) объектов несущественны и отказы связаны только со случайными воздействиями. 

2.2 Распределение Вейбулла

    

     Это распределение обобщает при определённых условиях экспоненциальное распределение. Функция надёжности при распределении Вейбулла имеет вид

                                                                                                        (2.5)

     Функция F(t) и плотность f(t) распределения (рис. 3.2) выражаются соотношениями

                                                                                                    (2.6)

                                                                                                (2.7)

     Здесь, k – параметр формы кривой; λ – параметр масштаба кривой распределения.

     При значении параметра k = 1 распределение Вейбулла превращается в показательное, при k = 3,3 – в нормальное.

Рис. 2.2. Графики плотности (а) и функции (б) распределения Вейбулла

     В этом плане распределение Вейбулла является в некотором роде универсальным. В частности, при значении параметра формы k < 1 модель Вейбулла позволяет описывать приработочные отказы, обусловленные скрытыми дефектами, при k = l – внезапные отказы в период нормальной эксплуатации, при 1< k < 2 – отказы быстростареющих объектов, у которых почти нет скрытых дефектов, при k>2– износовые отказы. Кроме того, при k =2 (распределение Релея) модель описывает функционирование объекта, состоящего из нескольких последовательно соединённых дублированных элементов, Обычно значение k лежит в интервале от 1 до 2.

     Параметр λ определяет масштаб кривой распределения по оси t. Это распределение было установлено экспериментально при описании наблюдавшихся разбросов сопротивления усталости (усталостной прочности) стали, пределов её упругости, размеров частиц копоти и др. Распределение Вейбулла может быть использовано при описании сроков службы электромеханического оборудования, подшипников и наработки между отказами сложных систем в процессе эксплуатации. 

2.3 Нормальное распределение (закон Гаусса) 

     Это распределение является одной из самых популярных моделей в теории надёжности, плотность и функция распределения, которого (рис. 3.3) имеют вид, соответственно:

                                                                                              (2.8)

                                                                                      (2.9)

Здесь приняты обозначения:

μ – параметр распределения, представляющий собой среднее значение случайной величины, σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины от среднего значения.

     Функция надёжности имеет вид

                                                                      (2.10)

Рис. 2.3. Графики плотности (а) и функции (б) нормального распределения

      Значения нормально распределённой случайной величины с вероятностью 68 % отклоняются от её математического ожидания не более, чем на одно среднее квадратическое отклонение; с вероятностью 95 % – не более чем на два средних квадратических отклонения; с вероятностью 99,7 % – не более, чем на три средних квадратических отклонения.

     Последнее носит условное название "правило трех сигм": если случайная величина распределена по нормальному закону, то её абсолютное отклонение от математического ожидания практически не превышает трёх сигм (t – M{t}) ≤3σ. Это правило широко используется в технике и технологии машиностроения, в частности, при определении режимов подналадки обрабатывающего оборудования, точностных характеристик операций механической обработки и др.

     В практических расчётах в теории надёжности нормальное распределение допускается применять, если коэффициент вариации v <0,35.

     Обратим внимание на другую форму записи плотности вероятности нормального распределения

    ,                                                                                (2.11)

где z –  нормированное отклонение частоты m от наиболее вероятной частоты np, то есть

  ;

√npq - среднее квадратическое отклонение случайной переменной m.

     Максимальная ордината колоколообразной кривой φ(z) соответствует точке m = np, то есть математическому ожиданию m, а само значение ординаты равно 1/√2πnpq.

     Для построения кривой нормального  распределения часто используют  формулу

                                                                                        (2.12)

где N –  число наблюдений, равное Σm, то есть сумме частот эмпирического распределения; k – интервал деления эмпирического ряда; – нормированное отклонение.

     Фундаментальное значение нормального распределения связано с центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой распределение суммы любых случайных величин в пределе (при бесконечном росте числа слагаемых) стремится к нормальному. Нормальное распределение чаще всего используется для описания постепенных износовых отказов. Оно образуется, когда на случайную величину действует большое число равноправных случайных факторов.

     Нормальный закон распределения обладает важным для теории и практики свойством, которое заключается в том, что если случайные величины, подчинённые нормальному закону, подвергать линейному преобразованию, то вновь получаемые случайные величины также будут распределены нормально.

      Закону нормального распределения в числе других параметров подчиняются отклонение размеров при изготовлении деталей, ошибка измерения некоторой контролируемой величины, распределение ресурса устройства определенного типа и др.

      В теории надёжности нормальное распределение используют для описания постепенных отказов, когда время безотказной работы вначале имеет низкую плотность, затем – максимальную и далее –падающую.

     В теории надёжности, как и во многих других случаях, часто используют функцию Лапласа, которая представляет собой нормированную нормальную функцию распределения с параметрами μ = 0,σ = 1 и записывается в виде