Применение теории вероятности в вычислениях надежности

                                                (2.13)

    Эта функция табулирована для различных значений Х, и обычно её представляют в виде таблицы. Для этого распределения функция плотности имеет одну переменную Х. 

2.4 Логарифмически нормальное распределение 

     В этом случае логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Этот закон успешно применяется при описании наработки на отказ сложных технических и технологических систем в машиностроении, а также при построении имитационных моделей Кобба- Дугласа. Плотность распределения (рис. 3.4) имеет вид

     

Рис. 2.4. Плотности распределения вероятностей для логарифмически нормального закона

                                                                                              (2.14)

где и S – параметры, оцениваемые по результатам испытаний. Так, при испытании N изделий до отказа их определяют по формулам

     ;                                                                                                   (2.15)

    .                                                                                    (2.16)

    Функция надёжности определяется следующим образом:

                                                                      (2.17)

     Её можно найти по таблицам для нормального распределения в зависимости от значения квантиля .

     Логарифмически нормальное распределение может также использоваться для описания долговечности металлов, износовых отказов материалов, старения электронной аппаратуры, процессов восстановления некоторых объектов, надёжности технологического обеспечения параметров качества и ряда эксплуатационных свойств поверхностного слоя деталей машин и т. д. 

2.5 Распределение по закону равной вероятности 

     Модель надёжности, построенную на основе закона распределения равной вероятности можно применять для описания вероятности появления отказов в некотором заданном временном интервале, когда процесс приработки объекта закончен, а процесс старения элементной базы ещё не наступил.

     При распределении случайной величины по закону равной вероятности плотность вероятности имеет постоянное значение в некотором интервале изменения случайной величины и равна нулю вне этого интервала. Такое распределение называют равномерным распределением вероятностей (рис. 2.5).

                  

Рис. 2.5. Плотность (а) и функция (б) распределения случайной величины для закона равной вероятности

     Плотность вероятности и интегральная функция распределения случайной величины для закона равной вероятности определяются уравнениями

                                                                      (2.18)

                                                                             (2.19)

     Основные характеристики равномерного распределения вероятности

                                                                                            (2.20)

     При моделировании надёжности по закону равной вероятности функция надёжности имеет вид

                                                                         (2.21)

     Вероятность попадания на участок (a, b) случайной величины X, распределённой по закону равномерной плотности (рис. 2.5), определяется по формуле

                                                                                               (2.22) 

2.6 Распределение Рэлея 

     Характеризуется линейной зависимостью величины интенсивности отказов от времени. Основные характеристики распределения Рэлея:

   – плотность распределения (частота отказов)

                                                                                       (2.23)

   – вероятность безотказной работы

                                                                               (2.24)

– интенсивность отказов

                                                                                                    (2.25)

– среднее время наработки до отказа

                                                                                             (2.26)

– дисперсия как параметр распределения Рэлея

                                                                                                   (2.27) 

2.7 Распределение Стьюдента (t-распределение) 

    Если xi (i = 1, 2, …, n) – независимые нормально распределённые случайные величины со средним ξ и дисперсией , то тогда значение - нормально распределённая случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Отношение вида

                                                                                           (2.28)

имеет t-распределение с n – 1 степенями свободы.

     Кроме того, если Z- нормально распределенная случайная величина имеет нулевое среднее и единичную дисперсию, а независимая от неё случайная величина образует - распределение с v степенями свободы, то случайная величина имеет t-распределение с v степенями свободы.

    В общем виде распределению Стьюдента подчинено отношение

                                                                               (2.29)

где – взаимно независимые нормально распределённые величины.

     Значение t от дисперсии случайных величин не зависит.

     Квантили для y обозначаются через , причём .

     Если выборочная оценка средней наработки на отказ T при числе испытаний n распределена нормально, то для определения верхней и нижней границ T можно использовать формулы, применяемые при нормальном распределении:

                                                                                                 (2.30)

Здесь – соответствующий квантиль распределения Стьюдента (t-распределения).

     Если определение значения S оказывается затруднительным или невозможным, тогда следует воспользоваться свойством экспоненциального распределения (σ = T) и принять .

     Распределение Стьюдента широко применяется при проверке статистических гипотез. Квантили t-распределения для различных уровней значимости приводятся в табл. 1 прил. 

2.8 Распределение Фишера- Снедекора 

     Это распределение имеет величина

    

при условии, что U и V – независимые случайные  величины, распределённые по закону со степенями свободы и , соответственно.

     Дифференциальная функция    

                                                                                                                                                          (2.30)

                                                                          (2.31) 

      Мы видим, что распределение F определяется двумя параметрами – числами степеней свободы – гамма-функция). Это распределение, как и распределение Стьюдента, широко применяется при проверке статистических гипотез, в частности при проверке гипотез о равенстве генеральных дисперсий. В этом случае величина

    

при условии  справедливости "нулевой" гипотезы (дисперсии равны) имеет распределение Фишера – Снедекора со степенями свободы – объём выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия – объём выборки, по которой найдена меньшая дисперсия .

    Квантили F-распределения для различных степеней свободы и различных уровней значимости α даны в табл. 2 прил.

     Зависимости характеристик надёжности при различных законах распределения вероятности безотказной работы различны.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

     Универсальность основных положений и методов теории надёжности обусловливают их применяемость к объектам самой различной природы и структуры. Однако их использование для расчёта параметрической надёжности технологических систем связано с определёнными трудностями из-за сложного характера взаимодействия элементов и подсистем между собой, слабой изученности и, в значительной степени, случайного характера процессов и явлений, происходящих в локальной зоне обработки поверхности детали или в непосредственной близости от неё, а также во всей технологической системе в целом. Преодолению этих трудностей способствует моделирование надёжности объекта с учётом эволюции её показателей на этапах его жизненного цикла. Большое внимание при этом должно уделяться непрерывным моделям надёжности, так как параметры качества функциональной (определяющей эксплуатационные свойства) поверхности детали непрерывно формируются на протяжении технологического процесса её изготовления.

     Повышение точности прогнозирования состояния технологических систем обработки определяется развитием вероятностных моделей отказов. Внезапные отказы вызваны, в основном, организационными недоработками, и поэтому легко устранимы. В связи с этим в технологии машиностроения большее внимание следует уделять развитию моделей постепенных отказов. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы  

     1. С. Н. Бернштейн. Теория вероятностей, 4 изд., М.- Л., 1995.

2. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М. «Высшая школа», 2006.

3. Т.  А. Голинкевич. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов - М. «Высшая школа», 1997.

4. Ю. В. Кожевников. Теория вероятностей и математической статистики. – М.: «Машиностроение», 2002.

5. А.  М. Пловко. Основы теории надежности. – М.: Наука, 1964.

6. Сборник  задач по теории вероятности, математической статистике и теории статистических функций / Под ред. А. А. Свешникова- М., 1970.

7. Б.  А. Севастьянов. Вероятностные  модели.- М.: Наука, 1992. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение

                                                                                                                 Таблица 1 

Критические значения t- критерия 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                Таблица 2 

Значения  F-критерия для уровней значимости 0,05 (верхняя строка) и 0,01 (нижняя строка) 

 
 
 
 
 

                                                                                                      Окончание табл. 2