Симплекс метод

Задача 1

      Необходимо  составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров  в кормовых единицах и переваримом  протеине в зависимости от суточного  удоя приведена в таблице 1.  

    Т а б л и ц а  1

Суточная  потребность в  питательных веществах  дойных коров живой  массой 550 кг   

 

 

      Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в таблице 2.  

Т а б  л и ц а  2

Содержание  питательных веществ  в 1 кг корма и себестоимость  кормов  

 

 

      Согласно  физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться  следующее допустимое количество концентрированных  и грубых кормов (табл. 3).  

Т а б  л и ц а  3

Потребность коров в концентрированных  и грубых кормах, % от общей потребности  в кормовых единицах

 

 

      Составить рацион кормления коров, имеющий  минимальную себестоимость.

      Требуется решить задачу вручную симплексным  методом.

 

Решение:

      Выразим все условия задачи в виде системы  ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х₁ − искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х₂ − сена (кг) и через х₃ − силоса (кг).

      Составим  систему ограничений:

      1) условие по содержанию кормовых  единиц в рационе:  

1x₁ + 0,5x₂ + 0,2x₃ ³ 11,5;

      2) условие по содержанию переваримого  протеина в рационе:

160х₁ + 60х₂ + 30х₃ ³ 1273;

      3) условие по содержанию концентратов  в рационе (не менее 11,5 корм. ед. × 0,29 = 3,335 корм. ед.):

1х₁ ³ 3,335;

      4) условие по содержанию грубых  кормов (не более 11,5 корм. ед. × 0,24 = 2,76 корм. ед.):

0,5х₂ £ 2,76.

      Целевая функция – минимум себестоимости  рациона:

Z = 4,2x₁ + 0,9x₂ + 0,6x₃ ® min 

      Перейдем  в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:

      1) lx₁ + 0,5x₂ + 0,2x₃ – x₄ = 11,5;

      2) 160х₁ + 60х₂ + 30х₃ – x₅ = 1273;

      3) 1х₁ – х₆ = 3,335;

      4) 0,5х₂ + х₇ = 2,76;

      Z=4,2x₁ + 0,9x₂ + 0,6x₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 0х₇ ®  min.

      Дополнительные  переменные имеют следующий экономический  смысл:

      х₄ − количество кормовых единиц сверх минимума;

      х₅ − количество переваримого протеина сверх минимума (г);

      х₆ − количество концентратов сверх минимума (корм. ед.);

      х₇ − разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе (корм. ед.)

      В ограничения, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «M», так как задача решается на минимум.

      1) 1x₁ + 0,5x₂ + 0,2x₃ – x₄ + у₁ = 11,5;

      2) 160х₁ + 60х₂ + 30х₃ – x₅ + у₂ = 1273;

      3) 1х₁ – х₆ + у₃ = 3,335;

      4) 0,5х₂ + х₇ = 2,76;

      Z=4,2x₁ + 0,9x₂ + 0,6x₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 0х₇ + Му₁ + Му₂ + Му₃ ® min.

      Разрешим  уравнения относительно искусственных  и дополнительных переменных с коэффициентами «+1» Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:

      1) у₁  = 11,5 – (+1x₁ + 0,5x₂ + 0,2x₃ – x₄);

      2) у₂ = 1273 – (+160х₁ + 60х₂ + 30х₃ – x₅);

      3) у₃ = 3,335 – (+1х₁ – х₆);

      4) х₇  = 2,76 – (+0,5х₂);

      Z=0 −(−4,2x₁ − 0,9x₂ −0,6x₃)  ® min;

      F=1287,835М − (+162Мx₁ + 60,5Мx₂ + 30,2Мx₃ − Мх₄ − Мх₅ − Мх₆) ® 0.

      Заполним  симплексную таблицу 1.   
 

С и м  п л е к с н а я   т а б л и ц а  1

 

 

      1. Разрешающий столбец – х_1.

      2. Разрешающая строка – у_3.

      3. Заполняется симплексная таблица  2.

      3.1. Переменная у₃ выводится из базиса, переменная х₁ вводится в базис.

      3.2. Расчет элемента, стоящего на  месте разрешающего:

      1 : 1 = 1.

      3.3. Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:

      3,335 : 1 = 3,335;  0 : 1 = 0;  0 : 1 = 0;  0 : 1 = 0;  0 : 1 = 0;  −1 : 1 = −1.

      3.4. Расчет элементов столбца, стоящего  на месте разрешающего:

      1 : (−1) = −1;   160 : (−1) = −160;   0 : (−1) = 0;   −4,2 : (−1) = 4,2;

      162М : (−1) = −162М.

      3.5. Расчет остальных элементов таблицы: 

      столбца b_i:

      11,5 – 1 × 3,335 = 8,165;   1273 – 160 × 3,335 = 739,4;   2,76 – 0 × 3,335 = 2,76;  

      0 – (−4,2) × 3,335 = 14,007;   1278,835М – 162М × 3,335 = 738,565М;

      столбца х₂:

      0,5 – 1 × 0 = 0,5;   60 – 160 × 0 = 60  и т. д.

      Так как при расчете столбца требуется  постоянно умножать на 0, то столбец х₂ переписывается без изменения. Без изменения переписываются столбцы х₃, х₄ и х₅, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.

      Расчет  элементов столбца х₆:

      0 – 1 × (−1) = 1;   0–160 × (−1) = 160;   0 – 0 × (−1);  

      0 – (−4,2) × (−1) = −4,2;   −М − 162М × (−1) = 161М.