Системы линейных уравнений

 

Оглавление

Введение........................................................................................................................................2

Глава I. Историческая справка.....................................................................................................4

Глава II. Системы линейных уравнений.....................................................................................5

2.1Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.............................................5

2.2Основные методы решения  систем линейных уравнений с 2-мя неизвестными..8

2.3Системы линейных уравнений с тремя неизвестными...........................................12

2.4Основные методы решения систем линейных уравнений с 3-мя неизвестными.14

Глава III. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка...................................................................17

3.1 Понятие определителей 2-го порядка......................................................................17

3.2 Основные свойства определителей 2-го порядка...................................................19

3.3 Понятие определителей 3-го порядка......................................................................21

3.4 Основные свойства определителей 3-го порядка...................................................23

Глава IV. Решение систем с двумя, тремя неизвестными с помощью определителя...........25

4.1 Метод Крамера...........................................................................................................25

4.2 Метод Гаусса..............................................................................................................27

Глава V. Результаты проведенного исследования...................................................................30

Заключение..................................................................................................................................35

Список литературы.....................................................................................................................36

Приложение. Банк задач для  самостоятельного решения.......................................................37

 

 

 

Введение.

Как сказал советский государственный  деятель М.И. Калинин: «Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она  окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

Действительно, чем стремительнее  развивает свой шаг прогресс, тем  более зависимыми мы становится от точной науки. Математика повсюду. От кодирования  данных для телефонных карт памяти, до сложнейших расчетов при прогнозировании  погоды.  
 Среди работодателей, распахивающих двери дипломантам физматов, числятся крупные консалтинговые, страховые и финансовые компании. Ну и разумеется, компьютерные фирмы, публикующие львиную долю вакансий для математиков. 

Таким образом, переоценить  значение математики в нашей жизни  очень трудно.

Для наиболее полного овладения  этой наукой необходимо детально и  углубленно изучать каждую тему. Одной  из  важных   тем  курса математики VII-XI классов можно назвать тему:   «Системы уравнений», так как к решению систем уравнений сводятся как текстовые задачи, с которыми учащиеся встречаются в курсе математики, так и многие  физические задачи. Но в школьном курсе системы уравнений рассматриваются не достаточно глубоко. А на выпускных экзаменах в школе и вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются задачи, связанные с решением  систем уравнений, в том числе и задачи, содержащие параметры, решение которых известными  методами  довольно  громоздкое. И зачастую они вызывают затруднение у поступающих. Чтобы избежать этих затруднений следует лучше изучить тему: «Системы линейных  уравнений  и  методы  их  решения». 
 Цель исследования – сравнить  различные методы решения систем  линейных уравнений с несколькими переменными и выявить наиболее рациональные из них.

Гипотеза исследования - системы линейных уравнений с некратными или представляющими собой обыкновенные дроби коэффициентами, а также содержащие параметры, удобнее решать с помощью определителей.    
 Задачи: 
1) Изучить основные понятия по теме: «Системы линейных  уравнений и методы  их  решения».

2) Проанализировать и  отобрать задания по указанной  теме.

3) Рассмотреть способы  решения систем  линейных уравнений и выбрать наиболее рациональные.

4) Составить банк задач  для самостоятельной работы.

Проблема: Выявление  рациональных  методов  решения  систем  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными (решение  систем  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными  известными  методами  довольно  громоздкое, особенно для  систем  содержащих  параметр)

Объект исследования: Системы линейных  уравнений 

Предмет исследования: Методы решения  систем  линейных уравнений

Характеристика материала  исследования: Рассматривались  системы  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными, предлагаемые  для  подготовки  к  единому  государственному  экзамену, а  также  задания,  предлагаемые  на  вступительных  экзаменах  в  ВУЗ.

Использованные методы: Анализ, сравнение, обобщение.

Новизна работы: Удалось  выявить   методы решения  систем  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными, отличные  от  известных, которые оказались наиболее рациональными при решении.

Практическая значимость: Данную работу можно использовать в  качестве учебного пособия как для  самостоятельной подготовки учащихся к выпускному  и  вступительному  экзаменам по математике, так и  для решения задач на уроках и  факультативах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Историческая справка.

В алгебре под определителем  понимается функция, зависящая от n-значения, которое обозначает скалярную величину и представляется в соотношении  с конкретным параметром (nxn) квадратной матрицы.

С точки зрения истории, феномен  определителя стал изучаться раньше чем сами матрицы. Первоначально, определитель был представлен как собственно система линейных уравнений. Определитель «определял» имеет система одно или несколько возможных решений (в случае, когда определитель являлся ненулевым).  
 Впервые определители начали использовать в китайских учебниках по математике. В Европе же, парные определители подверглись поверхностным исследованиям Кордано в конце 16в., и в большей степени со стороны Лейбница.  
 В Японии определители использовались с целью изучения исключения переменной в системах алгебраических уравнений более высокого порядка.

В Европе Крамер (1750г) добавил к уже проведенным исследованиям в этой области, так называемое положение о системах уравнений. И только лишь в 1771г Вандермонд впервые представил определители в виде независимых функций, а в 1772г Лаплас сделал популярным среди математиков общий метод разложения определителя на дополнительные миноры.  
 Лагранж — первый, кто начал изучение определителей в рамках теории исключения. Гаусс в 1801г начал использовать феномен определителя в теории чисел. Он ввел в обиход термин «детерминант» (Лаплас называл его «результантом»), хотя и не в том понимании, которое присуще современной математике, тем не менее, в качестве дополнения к такому понятию как дискриминант.

Еще одной важной фигурой  в проведении исследований математического  феномена детерминанта или определителя, стал прусский математик Якоби. В  своих работах исследователь  большое количество времени посвятил изучению функционального определителя, который впоследствии стали называть определителем Якоби.

В результате заинтересованности подобного феномена и исследования его свойств с давних времен, в  современной математике стали известны такие понятия как осесимметричный определитель, пер-симметрический определитель, отклонения в значениях определителей и др.

 

Глава II. Системы линейных уравнений.

2.1 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

 

где х, у – неизвестные, f₁, f₂, g₁, g₂ – действительные числа.

Если  левые и правые части уравнений  системы являются многочленами от х и у или их можно представить в виде отношения многочленов, то систему называют алгебраической.

Решением  системы называется пора чисел х₀, у₀, при подстановке которых соответственно вместо х и у каждое уравнение системы становится верным числовым равенством. Множество решений может быть, в частности, пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений (несовместна).

Решить  систему – значит найти все  ее решения или установить, что  система не имеет решений.

2. Процесс решения системы обычно состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к другим, более простым. При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения. Что касается посторонних для данной системы решений, которые могут появиться при преобразовании системы, то их обычно отсеивают с помощью проверки.

      Если в результате  преобразования системы (1) получена  система

 

такая, что каждое решение системы (1) является решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1). Аналогично, уравнение

F(x, y) =G(x, y)

называют следствием системы (1), если равенство

F(x₀, y₀) =G(x₀, y₀)

верно для каждой пары чисел  x₀,y₀, образующих решение системы (1).

Если система (2) является следствием системы (1), а система (1) также является следствием системы (2), то эти системы  называются равносильными. Иначе говоря, системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, две системы, не имеющие  решений, являются равносильными.

Используя определения равносильности и следствия, можно утверждать, что:

1. Если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение равносильным ему, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная при этом система будет равносильна исходной;
2. Если к данной системе присоединить уравнение, являющееся следствием этой системы, то полученная система будет равносильна исходной;
3. Если какое-либо уравнение данной системы заменить его следствием, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет следствием исходной.

3. При решении систем уравнений нередко приходится применять такие преобразования систем, как умножение обеих частей уравнения на одно и то же число (или одну и ту же функцию), почленное сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы, возведение обеих частей уравнения в n-ю степень.

Сформулируем утверждения, связанные  с этими преобразованиями, опустив  в записи системы неизвестные.

1. Система

 

полученная почленным сложением и вычитанием уравнений системы (1), равносильна системе (1).

2. Система

                                                                                                               

является следствием системы (1). Если же функции f₂  и g₂  принимают неотрицательные значения в области определения системы (1), т.е. на множестве, где определены функции f₂  и g₂ , то система (3) равносильна системе (1).

3. Система

 

4.  Если не существует таких пар чисел x и y, при которых обе функции f₂  и g₂ одновременно обращаются в нуль, то система

 

является следствием системы (1), а при дополнительном требовании, что одновременно не обращаются в нуль функции f₂  и g₂, система (5) равносильна системе (1).

Эти свойства преобразований систем, доказательство которых легко можно  получить самостоятельно, широко применяются при решении систем с двумя и тремя переменными.

4. Введем еще одно понятие, играющее важную роль при решении систем уравнений.

Пусть система уравнений имеет  вид

 

Будем говорить, что система (6) равносильна  совокупности систем

 

и

 

если каждое решение системы (6) является решением хотя бы одной из систем (7), (8) и всякое решение каждой из систем (7), (8) есть решение системы (6).

Это означает, что множество решений системы (6) совпадает с объединением множеств решений систем (7) и (8). Поэтому вместо слов «система (6) равносильна совокупности систем (7) и (8)» говорят, что «система (6) распадается на системы (7) и (8)».

Обычно это понятие применяется  в случае, когда левую часть  одного из уравнений системы (6) удается  разложить на множители. Пусть, например, f₁=fg, где f и g – многочлены (или функции, которые определены на одном и том же множестве). Тогда система