Системы линейных уравнений

 

равносильна совокупности систем

 

2.2 Основные методы решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Метод подстановки

При решении систем уравнений часто  применяется метод подстановки (метод исключения неизвестного), с помощью которого решение системы с двумя неизвестными сводится к решению уравнения с одним неизвестным. В основе этого метода лежит утверждение.

Система уравнений

 

равносильна системе

¹

Алгоритм:

1. В одном из уравнений системы (в любом) выразить одно неизвестное через другое, например x через y;
2. Полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным y;
3. Решить это уравнение и найти значение y;
4. Подставить найденное значение y в выражение для x, найти значение x.

Пример: «Решить систему уравнений»

 

Решение

 

 

                   

Ответ: х=1, у=-1                      ²

2. Метод замены переменной (Метод введения новых переменных )

Одним из эффективных методов  решения систем уравнений является метод замены переменной, который  состоит в следующем. Пусть левые  части уравнений системы

 

записываются в виде F₁(x,y)=f₁(u,v), F₂(x,y)=f₂(u,v), где u=f₁ (x,y), v=f₂ (x,y). Тогда система примет вид

      

Если (u_k; v_k) – все решения этой системы, k=1,2,…,n, то, решив n систем уравнений

     

и объединив эти решения, найдем все решения исходной системы.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример: «Решить систему уравнений»

 

Решение

Введем новые неизвестные  u=1/x, v=1/y. Тогда система примет вид

 

Эта система равносильна  системе

 

имеющей единственное решение u=1/2, v=-1. Следовательно, x=1/u=2, y=1/v=-1

Ответ: (2;-1)

3. Метод алгебраического сложения

Метод сложения основан на следующих теоремах:

1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Алгоритм:

1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
2. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное;
3. Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Пример: «Решить систему уравнений»

 

Решение

       

 

   ; 4*(2)-5y=-22, y=6

Ответ: х=2, у=6         ³

4. Метод сравнения

Чтобы решить систему

 

Методом сравнения, предполагают, что эта система имеет решения  и из каждого уравнения системы  находят y (или x):

,     ,    

Приравнивая полученные для  y выражения

 

получим уравнение относительно неизвестного x. Это уравнение называется выводным из системы уравнений (10.1)

 Решая выводное уравнение при найдем

 

Подставляя найденное  значение x в какое-либо выражение для y, например в первое, получим

=,

Таким образом, если система (10.1) имеет решения, то ее решением будет

, при  ⁴ 
2.3 Системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

В общем виде система трех линейных уравнений с тремя переменными записывается так:

                                          (11)

где x, y, z – неизвестные, а a₁, b₁,c₁,d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃ – коэффициенты системы (d₁,d₂, d₃ - свободные члены).

Всякое общее решение трех уравнений, образующих систему, называется решением системы. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными может иметь единственное решение, бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения.

Так, например, система имеет единственное решение: x=1, y=2 и z=-3. Действительно, из третьего уравнения следует, что переменная z может иметь единственное значение, а именно z=-3. Теперь получаем

 

Эта система имеет единственное решение: x=1, y=2. Следовательно, и данная система также имеет единственное решение.

Рассмотрим другой пример. Система 

 

имеет бесконечное множество решений, поскольку всякое решение первого  уравнения является решением системы.

Наконец, системане имеет решений. В самом деле, заменяя третье уравнение ему равносильным уравнением и сравнивая его с первым уравнением системы, видим, что эти два уравнения не имеют общего решения. Из этого следует, что данная система не имеет решения.⁵

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Основные методы решения систем линейных уравнений с тремя неизвестными.

1. Метод подстановки

Из первого  уравнения системы (11) найдем

 

и подставим это значение z во второе и третье уравнения системы:

 

После преобразований получаем систему двух линейных уравнений  с двумя неизвестными

 

из которой находим

 

Подставляя значения x и y в (13), находим

 

После преобразований решение  системы (11) получаем в виде

 

 

2. Метод алгебраического сложения

Если обе части первого  и второго уравнений умножить соответственно на с₂ и с_{1 ,} а первого и третьего уравнений на с₃ и с₁ (с₁¹0, с₂¹0, с₃¹0) и полученные результаты почленно сложить, то получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 

Определив из этой системы  по формулам

 

  

x и y, подстановкой в одно из уравнений системы (11) найдем z. В результате получаются формулы (14).

 

3. Метод сравнения

 

Чтобы решить систему уравнений (11) способом сравнения, найдем z из каждого уравнения системы:

 

 

 

Приравнивая выражения, полученные для  z, приходим к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 

 

из которой найдем x и y, а затем, подставив эти значения в одно из выражений для z, найдем z. Таким образом, для системы (11) решение получаем в виде формул (14) для определения x,y,z при условии

 

В каждом из приведенных способов решения системы (11) предполагается, что эта система имеет решения. Таким образом, значения неизвестных (14) будут решением системы (11), если она имеет решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка

3.1Понятие определителей 2-го порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными

 

Исключим из этой системы переменную у. Для этого умножим на b₂ обе части первого уравнения и на – b₂ – обе части второго (считаем b₁¹0, b₂ ¹0). Полученная система

 

равносильна данной. Сложим оба уравнения  системы:

(a₁b₂-a₂b₁)x = c₁b₂-c₂b₁                                                                                                                    (15)

Аналогично имеем (считая a₁¹0, a₂ ¹0)

(a₁b₂-a₂b₁)y = a₁c₂-a₂c₁                                                                                                    (16)

Тогда из уравнений (11) и (12) получаем

,                                                                        (17)

Если выполняется условие a₁b₂-a₂b₁ ¹0, то система (14) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (16). В самом деле, если (x; y) – решение системы (14), то каждое из равенств (15), (16), (17) является верным, т.е. решение системы (14) определяется формулами (17). Легко проверить, что если выполняется условие a₁b₂-a₂b₁ ¹0, то пара чисел x,y, которые определяются формулами (17), удовлетворяют системе (14).

Установим правило, по которому образованы правые части равенств (17). Пусть

- общий знаменатель дробей (16), т.е.

 

Число назовем определителем системы (14) и обозначим его символом

,                                                                                                                          (18)

а числа а₁, b₁, a₂, b₂ назовем элементами этого определителя. В первом и втором столбцах определителя (16) расположены соответственно коэффициенты при неизвестном х и неизвестном у системы (12). Диагональ, на которой расположены элементы a₁ и b₂,называют главной, а диагональ, на которой расположены элементы a₁ и b₁ определителя (16), называют побочной.

Из равенства

                                                                                                 (19)

следует, что определитель равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Обозначим числители в формулах (17) через и . Тогда, пользуясь правилом (19), получаем

 

 

  Следовательно, равенства (15) можно записать так:

 

 

   

Заметим, что определители и можно получить из определителя заменой столбца из коэффициентов соответственно при x и y системы (14) столбцом свободных членов этой системы. Определителя имеющие две строки и два столбца, называют определителями второго порядка.

3.2Основные свойства определителей второго порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы – строками.

,

т.е. столбцы и строки в определителе второго порядка равноправны. Доказательство следует из определения.

  Из этого свойства следует,  что все свойства, верные для  строк, будут верными для столбцов.

2. При перестановке строк определитель меняет знак:

.

Доказательство.

 

3. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число k, то весь определитель умножится на это число:

 

Доказательство.

 

4. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен 0:

0

Доказательство.

 

Следствие. Если строки определителя одинаковы, то он равен 0:

 

5. Если к одной из строк определителя прибавить другую, умноженную на любое число, то величина определителя не изменится:

 

Доказательство.

+

6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

Доказательство.

 

 

Сравнивая результат с  исходным определителем убеждаемся в справедливости шестого свойства.