Системы линейных уравнений

 

 

 

 

3.3Понятие определителей 3-го порядка.

При решении системы (11) трех линейных уравнений с тремя неизвестными значения неизвестных выражались, согласно формуле (14), через алгебраические суммы  шести произведений по три сомножителя.

Выражение  , обозначенное символом

 

называется определителем третьего порядка.

Согласно определению,

 

Числа a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃, c₃ называются элементами определителя; a₁, b₁, c₁; a₂, b₂, c₂; a₃, b₃, c₃ называются строками; a₁, a₂, a₃; b₁, b₂, b₃; c₁, c₂, c₃ – столбцами определителя; a₁, b₂, c₃ образуют главную, а a₃, b₂, c₁ – вспомогательную диагональ определителя.

Определители третьего порядка  вычисляются по формуле (22). Для ее запоминания полезно следующее  правило, представленное графически.

 Произведения элементов главной  диагонали и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными  главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведения элементов вспомогательной  диагонали и элементов, лежащих  в вершинах треугольника с основаниями, параллельными вспомогательной  диагонали, - со знаком минус. В каждое из произведений со знаком плюс и со знаком минус входит только по одному элементу каждой строки и каждого  столбца определителя .                   

                                                                                                                             

                                                                              +                                  -

Правило вычисления определителей  третьего порядка можно представить  в виде следующей схемы, которая  легко распространяется и на определители высших порядков. По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4 Основные свойства определителей третьего порядка.

Свойство 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка равны нулю, то и определитель равен нулю.  
Доказательство. Пусть, например, элементы первой строки равны нулю. Тогда, пользуясь определением определителя 3-го порядка, найдем

0 0 0 a2 b2 c2 a3 b3 c3

=

0*b2c3 + 0*a2b3 + 0*a3c2 - 0*b3c2 - 0*a2c3 - 0*a3b2

Таким же образом можно  убедиться, что определитель 3-го порядка  равен нулю всегда, когда все элементы какой-либо строки или столбца равны  нулю.

Свойство 2. Определитель 3-го порядка не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.  
Доказательство. Согласно определению определителя 3-го порядка,

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

=

a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1

В данном определителе 3-го порядка  заменим строки столбцами с теми же номерами, тогда

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

=

a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1

Правые части двух равенств равны, следовательно, равны и левые  части равенств:

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3	=	a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

Свойство 3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя 3-го порядка, то абсолютная величина определителя не изменится, а знак изменится на противоположный.  
Доказательство. Поменяем местами первый и второй столбцы определителя 3-го порядка

	a1	b1	c1
	a2	b2	c2
	a3	b3	c3

 

По определению определителя 3-го порядка найдем

 

b1 a1 c1 b2 a2 c2 b3 a3 c3

=

b1a2c3 + a1b3c2 + a3b2c1 - a2b3c1 - a1b2c3 - a3b1c2

=

=

- (a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1)

-

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

Аналогичным образом можно  убедиться, что свойство 3 верно, если взять любые две строки или  любых два столбца.

Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка умножить на какое-либо число, то и определитель умножится на это число.  
Доказательство. Воспользуемся определением определителя 3-го порядка

a1 b1 c1 aa2 ab2 ac2 a3 b3 c3

=

aa1b2c3 + aa2b3c1 + aa3b1c2 - aa1b3c2 - aa2b1c3 - aa3b2c1

=

=

a*(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1)

=

a*

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

Все это верно и в  том случае, когда берется любая  строка или любой столбец.

Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка представляет собой сумму двух слагаемых, то и определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых, например:

a1 b1 c1 + d1 a2 b2 c2 + d2 a3 b3 c3 + d3

=

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

+

a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3

 

Глава IV. Решение систем с двумя, тремя неизвестными с помощью  определителя.

4.1 Метод Крамера.

Габриель Крамер — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

Самая известная из работ  Крамера — изданный незадолго до кончины трактат «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке. В нём впервые доказывается, что алгебраическая кривая n-го порядка в общем случае полностью определена, если заданы её n(n + 3)/2 точек. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера.

Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное. Что касается числителей в столбце решений, то они подсчитываются аналогично: n-й числитель есть определитель матрицы, полученной заменой n-го столбца исходной матрицы на столбец свободных членов.