Міністерство  освіти і науки  України

Полтавський національний педагогічний університет

імені В.Г. Короленка 
 

Кафедра математичного аналізу 
 
 

Курсова робота з математики 

Спеціальні  функції 
 
 
 
 
 
 

Виконала  студентка групи М – 43

Холоша  Альона Андріївна 

Науковий  керівник

проф. Лагно В. І. 
 

Полтава–2010 

Зміст

ВСТУП 3

  І. Гамма-функція  6

       Ейлеревий інтеграл першого роду (Бета-функція)  6

       Ейлеровий інтеграл другого роду (Гамма-функція)  8

      Похідна гамма-функції. 11

ІІ. Гіпергеометрична функція. 13

ІІІ. Циліндричні функції 17

     Функції Бесселя 17

      Функція Неймана. 20

ІV. Функції Лежандра 24

V. Функція Гріна 26

VI. Розв'язування диференціальних рівнянь 29

ВИСНОВКИ 17

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 22 

 

ВСТУП

       Актуальність теми. Розділ спеціальних функцій постає перед студентом в курсі диференціальних рівнянь та вивчається лише поверхньо, і на перший погляд здається непосильною, але не менш цікавою, адже ще у другій половині ХХ сторіччя різко зріс інтерес до теорії спеціальних функцій, і в першу чергу, у зв’язку із значно ширшим застосуванням цих функцій у теорії диференціальних та інтегральних рівнянь. Теорія спеціальних функцій поступово виділилась у самостійний математичний предмет, засвідчуючи існування глибинних взаємозв’язків між різними областями математики, оскільки використовує багатомасштабний апарат теорії функцій дійсної та комплексної змінних, теорії диференціальних та інтегральних рівнянь, теорії чисел, теорії дробового інтегрального диференціювання тощо.

         Як відомо, спеціальні функції з’являються найчастіше при розв’язанні складніших звичайних лінійних диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами, при розв’язанні диференціальних рівнянь з частинними похідними за допомогою методу розділення змінних, при знаходженні власних функцій диференціальних операторів у деяких криволінійних системах координат та ін. Розв’язання багатьох задач математичної фізики, звичайних диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей та математичної статистики, теорії теплопровідності, аеромеханіки, квантової механіки, аеродинаміки, астрофізики, астрономії, біомедицини та ін. приводить до спеціальних функцій різної природи та складності. Різноманітність задач, що породжують спеціальні функції, веде до зростання кількості функцій — від найпростіших трансцендентних функцій до гіпергеометричних функцій різної природи.

        Метою завдання є: проаналізувати основні змістовні розділи спеціальних функцій, розкрити їх суть та розглянути основні види функцій, користуючись описаними видами спеціальних функцій, довести на практиці їх ефективність, порівняти особливості їх використання при розв’язуванні конкретних прикладів, встановити зв’язок між розглянутими функціями. 

        Завдання роботи:

• визначити основні методи розв’язування диференціальних рівнянь за допомогою різних спеціальних функцій, розглянути  їх сутність;
• дослідити особливості визначених видів функцій, розкрити їх зміст;
• показати суть та розкрити зміст всіх заданих спеціальних функцій;
• показати на практиці ефективність використання методів розв’язання диференціальних рівнянь;
• визначити та порівняти особливості використання кожної з основних функцій, з’ясувати зв’язок між ними;
• дослідити на конкретних прикладах різновиди спеціальних функцій;
• порівняти результати, отримані при застосуванні різних методів    розв’язання рівнянь до конкретних прикладів.

        Об’єктом дослідження є спеціальні функції.

         Предмет дослідження – гамма-функція, гіпергеометрична функція, циліндричні функції, функції Лежандра, функція Гріна.

         Практичне значення роботи полягає  у можливості використання матеріалів  під час розгляду проблеми  спеціальних функцій у курсі  диференціальних рівнянь як довідкових  та таких, що мають практичне  значення, при підготовці студентських  математичних семінарів, для розробки  цікавих матеріалів для студентів  або для тих, кого дана тема  зацікавила.

      Особистий внесок автора полягає в дослідженні кожної з наявних функцій на конкретних прикладах та ефективності використання основних видів спеціальних функцій, визначенні особливостей застосування основних методів розв’язування диференціальних рівнянь, порівнянні результатів, отриманих при застосуванні різних видів розв’язання до конкретних прикладів, перевірки зручності їх використання.

      Робота складається з вступу та п’яти параграфів, що ґрунтовно розкривають дану тему.  
 

           У §1 ми зупинимось на простих спеціальних функціях, а саме: Ейлеревий інтеграл першого роду (Бета-функція), Ейлеровий інтеграл другого роду (Гамма-функція) та похідної гамма-функції.

      У §2 розглянемо гіпергеометричну функцію, покажемо її суть, необхідні та достатні умови для застосування.

      У §3 покажемо з’язок між циліндричними функціями: функція Бесселя та функція Неймана, порівняємо їх.

      У §4 розглянемо функцію Лежандра, покажемо її переваги та недоліки.

          У §5 розділі з’ясуємо залежність функції Гріна від найпростіших розкладів .

      У §6 покажемо застосування розглянутих методів розв’язання рівнянь на конкретних прикладах, порівняємо їх практичність.

      У кінці роботи зроблено висновки та наведено перелік джерел [1-5], які було використано під час написання курсової роботи.

 

І. Гамма-функція

Бета-функція 

     Бета – функція визначається интегралом Эйлера першого роду: 

      =                                           (1)           

Збігаються при .Маючи =1 – t отримуємо: 

      = - =  

тобто аргумент і входять в симетрично. Приймаючи до уваги тотожність  

     

 

За формулою інтегрування за частинами маємо:

     

 

     Звідки 

      =                                        (1.1) 
 

     При цілому b = n послідовно застосовуючи (1.1)                                                                    

Отримаємо 

                            (1.2) 
 

при цілих = m, = n, маємо 

     

але B(1,1) = 1, тому: 

     

     

     Покладемо в (1) . Так як графік функції симетричний відносно прямої , то 

     

 

в результаті підстановки  , отримуємо 

     

Поклавши в  (1) , звідки , отримаємо                                                        

                                                (1.3) 

Поділивши інтеграл на дві частини в проміжках від 0 до 1, та від 1 до  застосувавши до другого інтегралу подстановки , одержимо 

     

= .

Гамма-функція 

            Гамма-функція Ейлера є узагальненням поняття факторіалу, поширеного з натуральних чисел на весь числовий ряд. Відомо, що для натиральних чисел факторіал описується відношенням:

                             n!=n•(n—1)•(n—2) ... •3•2•1

            Для факторіалу виконується основне рекурентне відношення:

                       n!=n•(n—1)!

Гамма-функція Ейлера називається інтеграл Ейлера ІІ-го порядку, для якого виконується аналогічне рекурентне відношення:

     G(a) =                                           (2.1) 

Яке збігається при . Покладемо =ty, t > 0 , маємо 

     G(a) =

 

Після заміни , через і t  через 1+t , одержимо 

     

 

  Помноживши цю рівність та проінтегрававши по t і в проміжку від 0 до маємо: 

     

. 

           Або на основі (1.3) та після зміни в правій частині порядку інтегрування, маємо рівність:

     

 

звідки 

                                                                                                                     

                                                                                               (2.2)                                                        

замінивши в (2.2) , на інтегруємо за частинами 

     

 

отримуємо рекурентну формулу 

                                                                    (2.3)

                                      

так як 

     

 

але при цілому маємо 

     

                              (2.4)

А при  маємо графік функції: 

     

(мал.1)

      Похідна гама-функції                              

          Інтеграл

                                            

     

збігається при , так як , і інтеграл при збігається.

     В області , де - будь-яке додатнє число, цей інтеграл збігається рівномірно, так як і можна застосувати признак Веерштраса.