Спеціальні функції

Збігаючись  при всіх значеннях

отримуємо і весь інтеграл                 

 так як і другий доданок правої частини являє собою інтеграл, заздалегідь збіжним при будь-якому . Явно, що інтеграл сходится по в любій області де будь-яке. Дійсно для всіх вказаних значень і для всіх , і так як збігається , то виконані умови Веерштрасса. Таким чином , в області інтеграл збігається рівномірно.

     Звідси витікає неперервність гамма функції при .Покажемо диференціювання цієї функції при .Помітимо, що функція непрерывна при и , и покажем ,что интеграл :

збігається  рівномірно на кожному сегменті , . Виберемо число так , щоб ; тоді при . Тому існує число таке, що і на . Але тоді на справедлива нерівність

      

     

і так як інтеграл збігається, то інтеграл збігається рівномірно відносно на . Аналогічно для існує таке число , що для всіх виконується нерівність . При таких і всіх отримаємо , звідки  зрівнюючи слідує , що інтеграл збігається рівномірно відносно  на . Нарешті , інтеграл

     

 
 

в якому  підінтегральна функція неперервна на проміжку , очевидно, збігається рівномірно відносно  на . Таким чином , на  інтеграл

збігається  рівномірно а, відповідно , гамма-функція безкінечно диференційована при будь-якому і справедлива нерівність

     

. 

     Відносно  інтеграла можна повторити дії та зрабити висновок: 

     

 
 

   ІІ. Гіпергеометричні функції

   Рекурентні  співвідношення для гіпергеометричних  функцій Лаурічеллі

де параметри  — комплексні числа, причому ; — комплексні змінні;

                           — символ Похгаммера, .

   Використовуючи  ці співвідношення побудовано розвинення відношень гіпергеометричних функцій  у гіллясті ланцюгові дроби. Гіллясті ланцюгові дроби, які є багатовимірним узагальненням неперервних дробів, означуються за допомогою композиції багатовимірних дробово-лінійних відображень. Для запису гіллястого ланцюгового дробу з N гілками розгалужень

   

будемо  використовувати позначення

   

,

де  — скорочений запис мультиіндексу, , , — комплексні числа або функції.

   Нехай

                                                   ,

   

,

   

,

   

,

     — символ Кронекера. Враховуючи, що надалі N — фіксоване число, для скорочення запису гіпергеометричних функцій Лаурічелли будемо використовувати позначення

   

.

Твердження 1. Відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли

       ,   ,  

має формальне  розвинення у гіллястий ланцюговий дріб

       , (3.1) 

де

       , (3.2) 

       , (3.3)

       . (3.4)

Теорема 2. ГЛД (3.2) є відповідним в точці до формального кратного степеневого ряду, в який розвиваються відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли

,

        ,

і для кожного  його підхідного дробу  порядок відповідності

  .

   У розділі 3 досліджено збіжність побудованих розвинень у ГЛД у випадку невід'ємних параметрів функції в деяких дійсних областях, а також встановлено оцінки швидкості збіжності.  Досліджено умови збіжності ГЛД (3.1) і (3.3) в деяких обмежених областях простору .

Теорема 3. Нехай параметри гіпергеометричної функції задовольняють умови:   ,   ,   , 

. 

Тоді гіллястий  ланцюговий дріб типу Ньорлунда (3.2) рівномірно збігається всередині області

        

і на довільному компакті K, , справджується оцінка швидкості збіжності

                                   ,  

де  — n–та апроксиманта ГЛД (3.2),

       , 

       , 

       , 

      C – деяка стала, яка залежить  від компакту K. 

У попередніх теоремах отримано області збіжності ГЛД  при накладанні певних додаткових обмежень на параметри гіпергеометричної  функції. У наступній теоремі  доведена збіжність ГЛД при довільних  допустимих значеннях параметрів.

Теорема 4. Нехай параметри гіпергеометричної функції

— дійсні числа, що задовольняють  наступні умови:

       ,   ( ),

                                 

Тоді гіллястий ланцюговий дріб збігається рівномірно до голоморфної функції всередині області

       ; 

  є аналітичним продовженням функції:

        

голоморфної в  деякому околі початку координат, в область G.  
 

ІІІ. Циліндричні функції 

    Функція  Бесселя  

                                   

                                    (4.1) 
 

    Функція досягає свого найбільшого значення 1 при  t = 0.

    Отже,

    

 при t > 0 і t < 0.

    Беручи  t = ±х², дістаємо:

    звідки 

                              (4.2)

                                 (4.3) 

    Підносячи вирази (4.2) і (4.3) до степеня з будь-яким натуральним показником n, маємо:

                      (4.4)

                       (4.5) 

    Інтегруючи  нерівність (4.4) на проміжку від 0 до 1, а нерівність (4.5) — від 0 до + , дістаємо:

    

.

    Водночас  виконуються такі співвідношення:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Звідси

          (4.6) 
 

      

    Підносячи до квадрата і перетворюючи вираз  (4.6), дістаємо:

    

.      (4.7) 

    Із  формули Вілліса

                                       _(4.8) 

    випливає, що обидва крайні вирази у (4.8) при п — прямують до , тому

                                              і

    Отже,

                                                   

 

                На малюнку вгорі показаний  точний графік функції Бесселя  з 0 по 9 індексами в інтервалі  від 0 до 20. Коефіцієнт розтягнення  графіка по вертикалі рівний  4.

     

  Функція Неймана 

     На  практиці рідко використовуються функції  Беселяз великими індексами, тому пряме  обчислення цих функцій за обмеженим  рядом елементарних функцій виконється без ускладнень. Завдяки цим особливостям функції Беселя і Неймана з  напівбілим індексом часто виділяють в окремий клас.

     Для того, щоб згладити деякі негативні  особливості розкладання в ряд  функцій Беселя з нецілим негативним індексом, Вебером була введена функція, є сумою двох лінійно-незалежних розв’язків рівняння Беселя і в літературі названа функцією Неймана.

                    (5.1)

     Функції Неймана також прийнято називати циліндровими функціями другого  роду індексу . За рахунок введення У формулу тригонометричних функцій при цілих значеннях індексу функції Неймана існують і є лінійно-незалежними до функцій Беселя першогороду.

     

     Для знаходження граничного значення при  цілих індексах скористаємося тим, що при нецілих індексах два лінійно-незалежі розв’язки існують і вони такі, що є диференційованими. Розкриємо невизначеність, про диференціювавши праву частину за правилом Лапіталя:

                     (5.2)

     Нам достатньо отримати значення функції (5.2) для окремого випадку – нульового індексу, після чого застосувати знайдені раніше рекурентні відношення для розв’язків рівняння Беселя. Якщо цей другий незалежний розв’язок існує, інші лінійно-незалежні розв’язки можуть бути отримані на підставі рекурентних відношень.

     Відзначимо, що рекурентні відношення для розв’рівняння Беселя з довільним індексом були отримані без використання традиційних розкладень в ряд тільки на підставі загального виду класичного рівняння Беселя, тому використання методу математичної індукції для ненульових цілих індексів функцій Неймана коректно.

                    

     Продиференціюємо  розкладання в ряд 

     

     почленно  по параметру , використовуючи властивості гамма-функцій Ейлера, і спрямувавши параметр до нуля, отримаемо розклад

                          (5.3)

     де —стала константа Ейлера, наближене значення якої складає 0,5772157…

     Використовуються  наступні відношення для гама-функції  Ейлера, що одержуються без доведення:

                                 (5.4)

     Значення  функцій Неймана для ненульового  цілого індексу знаходиться за правилом Лапіталя (5.2):

                            (5.5)

     Функції Неймана для цілого індексу в  загальному випадку мають вигляд:

                        (5.6)

     Для напівцілого значення індексу функцій  Неймана отримаємо явний вираз  через елементарні функції . Розглянемо одночасно лінійну комбінацію пари лінійно-незалежних розв’язків рівняння з половинним індексом:

                                                 (5.7) 

     Використовуючи  формальний диференціальний оператор