Спеціальні функції

й леми 2 і 3 про зворотній оператор, з точністю до негативної константи в ступені отримаємо загальний вид функцій Неймана напівбілого індексу:

           .                           (5.8) 

        

ІV   Поліноми Лежандра

       Ортогональні поліноми на інтервалі [-1,1]. Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта. Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

                                  (6.1)

або за рекурентними:

                           

           Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

                                            (6.2)

        

 Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює:

 

        Перші 9 поліномів Лежандра: 

 

      
 
 
 
 
 

  Графіки поліномів Лежандра порядку n = 0,1,...,5 

     

               Умова ортогональності справджується на інтервалі [ − 1,1]:

                                  (6.3)

де δmn — дельта-символ Кронекера.

             Полімоми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута θ, який змінюється від -1 при θ = π до 1 при θ = 0.Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

      ,

де x = r / , а cosθ - кут між векторами r та .

Інше важливе  застосування - розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля  розкладається за допомогою формули

                     (6.4)

де  (x) - сферичні функції Бесселя. 

V. Функція Гріна

      Нехай в банаховому просторі Z визначена крайова задача

                                                              (7.1)

       для довільного і являються лінійними обмеженими операторами, які діють в Z,

      ряди  в правих частинах (7.1) збігаються у рівномірної операторної топології при , , , ,

       , , сильно неперервні при ,

                                       ,

      оператор  , де - оператор Коші однорідного рівняння

                                   

,                      (7.2)

      є - оператор [1] з

      Лема. Якщо власна функція крайової задачі

                                    , ,                            (7.3)

      відносно  операторів і , утворює узагальнений Жордановий ланцюг приєднаних функцій , скінченої довжини , то для достатньо малих крайова задача (7.1) має єдиний розв’язок.

      Теорема. Якщо виконуються умови леми, то для крайової задачі (7.1) існує функція Гріна і для неї має місце Лорановський розклад

                                        ,

      де,

      

      де

        

       - власна функція крайової  задачі, спряженої до задачі (7.3); - узагальнений Жорданів ланцюг, відносно операторів ,спряжений до ланцюга

      

       - узагальнено обернений до  ;

      

       - розв’язки задач Коші

      

       - розв’язки задач Коші

        

      В стандартному вигляді Формула Гріна  має такий вигляд:

                             

                                     
 
 

VI. Розв’язування диференціальних рівнянь

Обчислити інтеграли (гамма-функції,гіпергеометричні функції),

для обчислення яких потрібні такі формули: 

  ;   Г( ) _.

   

а)

  ;

б)

;  
 

в)

; 

г)                                                                                                                                

_. 

 

 

ВИСНОВКИ

Із проведеного  дослідження випливають такі висновки,  що:

• у курсовій роботі,описано  різновиди спеціальних функцій та їх застосування в теоретичній та математичній фізиці, а саме те, що спеціальні функції відіграють важливу роль в теорії інтегральних перетворень.
• розв’язання багатьох задач математичної фізики, звичайних диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей та математичної статистики, теорії теплопровідності, аеромеханіки, квантової механіки, аеродинаміки, астрофізики, астрономії, біомедицини та ін. приводить до спеціальних функцій різної природи та складності. Різноманітність задач, що породжують спеціальні функції, веде до зростання кількості функцій — від найпростіших трансцендентних функцій до гіпергеометричних функцій різної природи.
• розвиток теорії спеціальних функцій особливо стимулював питання про зображення функцій не тільки у вигляді тригонометричних рядів, а й у вигляді рядів за іншими спеціальними функціями, яке виникло з практики розв’язання конкретних задач.
• спеціальні функції вже знаходять широке застосування у математичній фізиці, атомній фізиці, астрофізиці, теорії ймовірностей, теорії кодування та ін. Окрім того, потрібно вказати і на ефективне використання цих функцій для обчислення невласних інтегралів.

В курсовій роботі проаналізовані основні змістовні розділи спеціальних функцій, розкрита їх суть та розглянуті основні види функцій, користуючись описаними видами спеціальних функцій, встановлений зв’язок між ними, розв’язані диференціальні та інтегральні рівняння. 

 

 

     СПИСОК  ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Дж.Мэтюз, Р.Уокер. Математические методы физики / Дж.Мэтюз,                              Р.Уокер. Перевод с англ.-М.: ИЛ, 3-е изд., 2001. –394с.

2.Кафтанова Юлія. Спеціальні функції математичної фізики. Науково- популярне видавництво. –Х.: ПП Видавництво «Нове слово», 2009 – 596с. 3.Кошляков Н. С. Дифференциальные уравнения математической     физики/Н.С.Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов.   –Москва: Наука,

1962. –767с.

4.Кузнецов Д. С. Специальные функции/Дмитрий Сергеевич Кузнецов.  –Москва.: Государственное издательство «Высшая школа», 1960. –253с.

5.Лавренчук В. П. Диференціальні рівняння математичної фізики: Навчальний посібник / В.П. Лавренчук, С.Д. Івасишен, В.С. Дронь,Т.І. Горинчан. –2-е вид., випр.  –Чернівці:Рута, 2005. –191с.