Використання дослідницьких завдань в навчанні математики

Рис.1.4

Вивчаючи тригонометрію учні звикли знаходити тригонометричні функції від заданих (табличних) кутів, наприклад, , , . Тому завдання викликає подив, оскільки більшість з них не може зрозуміти, як дане завдання розв’язувати. Але завдання просте, якщо згадати, що абсциса точки Р буде значенням косинуса для кута α.

Подібне тестування в Росії (ЕГЭ) передбачає більшу кількість дослідницьких завдань.

Задача. Знайдіть такі пари взаємно простих натуральних чисел a i b, які мають властивість: якщо до запису числа a приписати справа через кому запис числа b, то отримаємо десятковий запис числа b/a [20].

Із умови маємо, що . Тоді , звідки випливає , але a i b – прості числа, тому .

Нижче наведено таблицю, в якій зазначено  к-сть дослідницьких завдань в  ЗНО та ЕГЭ за 2009 – 2011 роки.

Таблиця1.3.

Рік  К-сть д.з.	2009	2010	2011
К-ть дослідницьких завдання в «ЗНО»	33  4  12,12 %	36  3  8,33%	35  5  14,3%
К-сть дослідницьких  завдання в «ЕГЄ»	26  7  27%	18  6  33,33%	18  7  38,8%

 

Аналіз кількості дослідницьких завдань ЗНО показує, що їх невелика кількість. Це призводить до того, що в школах вчителі акцентують увагу на відпрацюванні стандартного матеріалу і не приділяють достатньо часу на розв’язування дослідницьких завдань.

 

РОЗДІЛ 2. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДОСЛІДНИЦЬКИХ  ЗАВДАНЬ ЯК НЕВІД’ЄМНА СКЛАДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ

2.1. Розв’язування задач на конструювання

Завдання на конструювання - пошук математичних об'єктів, які володіють вказаними властивостями [4].

Подібними завданнями можуть виступати такі задачі

Задача. Сконструювати дробово – раціональну нерівність, яка мала б своїм розв’язком множину чисел: [2].

Розв’язання. Оскільки кінці проміжків як належать розв’язкам, так і не належать, то знак нерівності буде ( ); кінці проміжків, які входять у розв’язок, повинні міститися в чисельнику, а ті, що не входять у розв’язок - у знаменнику дробово-раціональної нерівності. Отже, нерівність може мати вигляд:

Для визначення знака  нерівності скористаємося методом інтервалів у «зворотному» напрямі. Розкривши дужки, одержимо шукану нерівність.

Задача. Сконструювати многочлен третього порядку, який: 1) не має жодного екстремуму; 2) має один екстремум; 3) має два екстремуми; 4) має три екстремуми [5].

Розв’язання. Екстремуми многочлена Р₃(х) визначаються із:

1) необхідної умови існування екстремумів функції ; 2) достатньої умови існування екстремуму — при проходженні через точку екстремуму похідна змінює. Тому для виконання першого завдання                      потрібно, щоб не виконувалась необхідна умова існування екстремуму. Невиконання необхідної умови можна записати так:

,

що можливо за умови

.

Тоді в ролі може виступати, наприклад, квадратний тричлен

.

Інтегруванням знаходимо:

.

2. Один екстремум многочлен Р₃(х) буде мати, якщо . Це можливо, наприклад, якщо .

Інтегруванням знаходимо:

.

3. Два екстремуми буде мати многочлен із такою, наприклад, похідною: .

Звідки інтегруванням знаходимо:

.

4) Три та більше екстремумів многочлен Р₃(х) мати не може.

Ставлячи перед учнями подібні задачі, можна вимагати побудови:

1) однієї часткової моделі розв'язку;

2) декількох індивідуальних моделей;

3) на основі побудови декількох індивідуальних моделей розв'язку побудувати загальну модель розв'язку (розв'язок родової задачі);

4) побудова часткової моделі розв'язку з певними властивостями.

Наприклад, коефіцієнти Р₃(х) повинні бути цілими числами, Р₃(х) має бути зростаючою функцією тощо. Частковим розв'язком з останньою умовою може бути Р₃(х), для якого

.

Звідки після інтегрування отримаємо: .

Умову існування такого многочлена можна знайти, виходячи із загального вигляду

.

Тоді

Остання умова може виконуватися при

.

Для підбору «зручних» коефіцієнтів можна побудувати, наприклад, такий алгоритм.

1. Генеруємо а > 0, i > 0 — будь-які цілі додатні числа із заданого нами проміжку.

2. Генеруємо d - будь-яке ціле число із заданого проміжку;

3. Визначаємо b = 3а - ціле число.

4. Визначаємо .

Тоді шуканий поліном набуде вигляду

,

де а, і, d генеруються за умовами, наведеними в алгоритмі.

Запрограмувати такий алгоритм дуже просто на будь-якій алгоритмічній мові, що допоможе вчителю створити достатню кількість потрібних прикладів.

Учням можна запропонувати побудувати «свій» алгоритм отримання «зручних» коефіцієнтів.

Задача. Чи вірно, що рівність є тотожністю [4]?

Тотожність - рівність, яка виконується на всій множині значень .

В нашому прикладі допустимі значення для лівої  частини - числа від -1 до 1, а в правій – числа, більші або рівні 1 і менші або рівні -1. Таким чином, допустимими для обох частин є тільки -1 і 1. Для цих значень обидві частини рівняння рівні 0. Значить, воно є тотожністю.

Таке завдання можна перетворити на дослідницьке завдання на конструювання, якщо його сформулювати наприклад наступним чином.

  Знайдіть іншу цікаву тотожність  і доведіть її істинність.

Досить часто учні починають підбирати приклади, які за конструкцією є точними копіями тотожності, приведеної вище, і швидко втрачають інтерес до роботи. Мета вчителя на даному етапі – повернути інтерес до задачі, викликати бажання заперечувати, наводити контрприклади.

Не треба одразу показувати розв’язання поданої задачі. Для початку задаємо питання: чи є тотожністю приведена рівність. Деякі діти скажуть, що ця рівність не є істинною, тому що числа і протилежні, отже, один одному дорівнювати не можуть. При цьому вони забувають і про нуль, і про область визначення коренів парного степеня.

Далі потрібно з учнями досить ретельно розібратися з поняттями рівняння, тотожності; чи може рівняння бути тотожністю, і в якому випадку це відбувається?

Отже, опрацювавши поняття рівності, рівняння і тотожності, учні починають розуміти, що дивність даної тотожності в тому, що області допустимих значень змінної його лівої і правої частини співпадають в окремих точках, і в цих точках значення лівої і правої частини рівні. Відразу виникає зоровий образ: якщо розглядати ці частини як функції, то графік однієї з них продовжує графік іншої, утворюючи неперервну лінію. Тому достатньо, щоб області визначення функцій були або відрізки, або промені. Вибравши такі функції, можемо за допомогою перетворень об’єднати кінці їх графіків.

Які ж функції мають областю визначення відрізки або промені? Це, наприклад, arcsinx і arccosx або корені парного степеня. За допомогою паралельних перенесень (а, можливо, і інших рухів, наприклад, симетрії відносно бісектриси першого і третього координатного кута) і деформації графіків підганяємо їх один до одного так, щоб вийшла неперервна лінія.

Це і буде конструювання. Воно легко  дається учням хоча б тому, що виникає майже фізичне відчуття маніпулювання предметами, оскільки зорові образи функцій сприймаються як матеріальні. 

Корисними будуть задачі на побудову, які також є дослідницькими. «Робота над задачами на побудову діагностує та розвиває в учнів математичну інтуїцію, логічність мислення, інтелектуальну ініціативність, що, в свою чергу, і є якостями дослідника» [15].

Задача. Побудувати рівнобедрений трикутник, рівновеликий даному довільному трикутнику [15].

Дана задача буде задачею на конструювання, оскільки нам потрібно побудувати (сконструювати) об’єкт заданими властивостями (рівновеликий заданому трикутнику)

Розв’язання. Згадавши формулу площі трикутника , можна прийти до висновку, що для побудови трикутника рівновеликого даному, потрібно його будувати на одній із сторін заданого трикутника з такою ж висотою (рис. 2.1)

Рис.2.1

Справді і

Приклади завдань

Завдання. Наведіть приклад рівняння з цілими коефіцієнтами, що має корінь:

а)1; б) ; в) ;  г) [13].

Завдання. Наведіть приклад:

а)  нерівності другого ступеня, розв’язком якої є одне число;

б)  нерівності четвертого ступеня, розв’язком якої є два числа.

Завдання. Задайте мінімальну кількість точок координатної площини, які лежать на параболі, щоб можна було знайти квадратичну функцію, графіком якої є ця парабола.

Завдання. Дано кубічне рівняння . Які коефіцієнти потрібно знати, щоб знайти суму квадратів коренів рівняння.

Завдання. За даним графіком функції (рис.2.2), записати формули залежностей між координатами x та y [2].

Остання задача буде дуже корисною для формування абстрактного мислення та нестандартною, адже у підручниках переважають обернені завдання: побудувати графік за заданою залежністю. Особливу складність в учнів може викликати саме запис точки.

Для математично здібних чи обдарованих учнів задачі на конструювання математичних об'єктів можна використовувати в роботі математичних гуртків або в організації самостійної роботи. Навчання розв'язувати такі задачі перетворюється для суб'єкта розв'язування в дослідницьку діяльність.

2.2. Розв’язування задач на доведення

Доведення математичних тверджень – один із важливих засобів, який сприяє розвитку мислення учнів, особливо творчого та логічного. Доводячи твердження,  учні свідомо і міцно засвоюють систему математичних знань, набувають навичок самостійної роботи, умінь раціонально творчо застосовувати математичні знання. 

Розглядаючи задачі на доведення як об’єкти мисленнєвої діяльності учнів і враховуючи співвідношення між відтворювальною і творчою діяльністю учнів при розв’язуванні цих задач, варто поділити задачі на доведення на алгоритмічні,  напівалгоритмічні та евристичні [7].

До алгоритмічних задач на доведення відносять такі задачі, які доводяться за допомогою безпосереднього застосування означення, формули, доведеної теореми. До алгоритмічних задач на доведення можна віднести найпростіші задачі на доведення парності (непарності)  функції,  які розв’язуються шляхом безпосереднього застосування означення парної (непарної) функції. Наприклад, довести, що функція парна, довести,  що функція  непарна. Практика показує, що більшість учнів успішно справляються з такими задачами.

Більш складними є напівалгоритмічні  задачі на доведення, до яких ми відносимо ті задачі,  правила розв’язування яких носять узагальнений характер і не можуть бути повністю зведені до об’єднання елементарних кроків, але зв’язки між елементами цих задач учні знаходять легко. Уміння розв’язувати напівалгоритмічні задачі на доведення включає в себе не тільки міцне знання теоретичного факту, на основі якого дана задача буде розв’язана,  але і вміння свідомо та правильно застосувати необхідні раніше вивчені твердження. 

Важливу роль у вирішенні проблеми розвитку вмінь старшокласників доводити твердження відіграють евристичні задачі. До евристичних ми   відносимо такі задачі,  для розв’язання яких необхідно або виявити окремі приховані зв’язки між елементами умови і вимоги, або знайти спосіб доведення, або і те, і інше. Евристична задача не може бути безпосередньо розв’язана за яким-небудь алгоритмом чи узагальненим правилом.  Виникає необхідність пошуку розв’язання,  що сприяє роботі мислення і його розвитку.

Наведемо приклади таких задач [19].

Алгоритмічні задачі

1. Довести, що функція визначена на відрізку .

2. Довести, що функція не визначена на відрізку .

Напівалгоритмічні задачі

1. Довести, що функція визначена на відрізку .
2. Довести, що функція не визначена на множині

(-4;5).

Евристичні задачі

1. Довести, що функція  визначена на множині і не визначена на множині .

2. Довести, що функція визначена на множині і не визначена на множині .

Подані вище задачі розв’язуються  шляхом розгляду області визначення кожної з поданих функцій. Порівнюючи ОДЗ з заданим проміжком можна зробити висновок про те, чи визначена функція на заданому відрізку, чи ні.

2.3. Використання інформаційних технологій при розв’язуванні дослідницьких задач

У сучасному світі мабуть немає галузі, де б не використовувався комп’ютер, і освітня галузь не є виключенням. Інтерес до вивчення предмету багато в чому залежить від того, як проходять уроки. Застосування комп'ютерної техніки на уроках дозволяє зробити урок нетрадиційним, яскравим, насиченим, наповнюючи його зміст знаннями з інших наочних областей. Це перетворює математику з об'єкту вивчення в засіб отримання нових знань.

Ефективність застосування нових інформаційних технологій на уроках математики обумовлена наступними факторами:

• різноманітність форм представлення інформації;
• висока степінь наочності;
• можливість моделювання за допомогою комп’ютера різноманітних об’єктів і процесів;
• звільнення від рутинної роботи, що відвертає увагу від засвоєння основного змісту;
• можливість організації колективної та індивідуальної дослідницької роботи;
• можливість диференціювати роботу учнів у залежності від рівня підготовки, пізнавальних інтересів;
• можливість організувати комп’ютерний оперативний контроль і допомогу з боку вчителя.