Використання дослідницьких завдань в навчанні математики

Важливу роль у формуванні та розвитку продуктивного мислення учнів відіграє організація їх дослідницької діяльності, яка грунтується на проведенні спостережень і комп’ютерних експериментів. У процесі такого навчального дослідження учні самостійно роблять припущення (гіпотези) відносно досліджуваних закономірностей, мають можливість їх експериментально перевірити. Ініціюється та спрямовується дослідницька діяльність учнів спеціальною системою запитань і навчальних завдань. Використання засобів IT надає нові можливості для реалізації принципу проблемності, сприяє не тільки вирішенню пізнавальних проблем, але і постановці, осмисленню, включенню до системи знань учнів.

Необмежені можливості комп'ютер відкриває  для дослідницької роботи. Цікавими є ті уроки, на яких діти самостійно ведуть пошук, відбирають матеріал за завданням вчителя.

2.3.1. Метод проектів

Важливою проблемою навчання математики є формування мотивації школярів, тобто створення в школі умов для появи внутрішніх спонукань до навчання, усвідомлення їх учнем і подальшого саморозвитку учня. Для стимулювання і розвитку учбової мотивації напрацьовується система дидактичних прийомів. Уміле поєднання різних методів, засобів і організаційних форм сприяє розвитку мотиваційно-пізнавальної сфери. Разом з методами, що відповідають потребам мотиваційного забезпечення учбового процесу, такими як інформаційні, операційні, методи контролю і зворотного зв'язку виділяють творчі методи навчання: ділова гра, "мозкова атака", метод "круглого столу" тощо, серед яких особливе місце посідає метод проектів.

У системі шкільної освіти метод проектів можна розуміти як спосіб досягнення дидактичної мети, здобуття конкретного практичного  результату через освітню технологію проблемно-орієнтованого навчального пошуку. Робота над проектом передбачає здійснення всіх етапів наукового дослідження: спостереження, експеримент, висунення гіпотези, побудову плану дослідження, його реалізацію [26].

Універсальність методу дозволяє застосовувати його, працюючи з різними віковими категоріями учнів, на будь-яких етапах навчання і при вивченні матеріалу різної міри складності. Метод проектів застосовний до систем знань всіх без виключення навчальних дисциплін. У математиці методичні питання проектно-дослідницької діяльності висвітлені в роботах І. Гусева, А. Далінгера, Д. Пойа, Р. І. Саранцева, А. Я. Цукаря та ін.

Науковцями були уточнені цілі проектно-дослідницької діяльності в процесі навчання математиці:

1) формування емоційно-ціннісного відношення до проблеми, яка вивчається;

2) опанування систематизованих математичних знань, усвідомлення соціальної і особистої значущості дослідницької діяльності у сфері математики і прикладних знань, прагнення і уміння вирішувати проблемні ситуації;

3) розвиток наступних умінь: розпізнавати, обстежувати і вирішувати проблемні ситуації з області математики, залучаючи знання з різних областей науки; cамостійно, рефлекторно (критично) мислити; прогнозувати результати ; встановлювати причинно-наслідкові зв'язки; практично застосовувати отримані знання

Наведемо приклад проекту, який виконали учні Рунгурської ЗОШ I-III ступенів. Детальна інформація щодо організації цього проекту наведена у додатку А [26].

Назва проекту. «Теорема нареченої та її  застосування до розв’язування задач».

Ключове питання. Що цікавого знаємо про теорему Піфагора?

Тематичні питання.

Що ми знаємо про історію  створення теореми Піфагора?

Які види її доведень існують?

Змістові питання.

Що ви знаєте про літературні  описи застосування теореми Піфагора?

Що відомо про способи  доведень теореми Піфагора?

Як охарактеризувати види задач, які розв’язуються з  використанням теореми Піфагора?

Діяльність  учнів.

Історики - дослідники:

• вивчають легенди про життя Піфагора;
• вивчають історію створення теореми Піфагора та ознайомитися з різними видами її доведень.

Теоретики – науковці:

• узагальнюють способи доведень теореми Піфагора;
• характеризують види задач, які розв’язуються з використанням теореми Піфагора;
• пояснюють способи їх розв’язання.

Господарі – практики:

• пропонують практичні задачі;
• фантазують про вивчення теореми Піфагора у школі майбутнього.

Всезнайки – жартівники:

• придумують жартівливі задачі; розв’язування яких передбачає використання теореми Піфагора;
• пропонують рекламу, смішинки;
• аналізують роботу груп над проектом.

Отже, в результаті проектної діяльності учні знайомляться з історією виникнення теореми Піфагора, різними способами її доведень;  розширюють відомості про різноманітність сфер її застосування; розвивають свої комунікативні та дослідницькі навички.

2.3.2. Використання спеціалізованих комп’ютерних середовищ

Наведемо приклади розв’язування задач на дослідження в спеціалізованих комп’ютерних середовищах.

Задача.  Тіло кинуто до горизонту під кутом α. Визначити, на якій висоті і на якій відстані від точки старту буде тіло через 1,2, 3 с, якщо α=35°, а початкова швидкість - 49м/с. Дослідити, як залежить висота польоту і відстань, яку долає тіло, від кута до горизонту, під яким його кинуто [1].

Розв´язання. Використаємо табличний процессор Excel, оскільки у процесі розвязання задачі необхідно  побудувати таблицю і ввести в неї дані (рис.2.3).

Рис. 2.3

Для розв’язування задачі в комірку D2 необхідно ввести формулу:

=A2*cos(B2*3,14/180)

Після побудови таблиці  й розв’язання першої частини  задачі необхідно поставити запитання: яким чином можна вдосконалити таблицю, звівши до мінімуму кількість стовпчиків?

Відповідь: оскільки початкова швидкість і кут польоту не змінюється, то ці значення можні винести за таблицю, а сама таблиця матиме вигляд (рис. 2.4)

Рис.2.4

Можна помітити, що в цьому  випадку формула, уведена в комірку B4, матиме дещо інший вигляд:

=$B$1*cos($B$2*3,14/180)*A4

Після копіювання формули в комірки В5 і В6 перша частина задачі вважається розв’язаною.

Друга частина задачі складніша. Тут ставиться завдання дослідити залежність висоти і відстані польоту від кута, під яким кинуто тіло. Спочатку дітям потрібно заповнити таблицю 2.5 і доопрацювати її до іншого вигляду (рис. 2.6)

Розрахункова  таблиця до другої частини задачі

Рис. 2.5

Змінений вигляд таблиці для розв´язування другої частини задачі

Рис. 2.6

До того ж, щоб не вводити  щоразу значення прискорення вільного падіння g, його значення винесено в окрему комірку (B2).

Змінюючи значення кута, ви отримаєте нові значення висоти і відстані польоту. Для цього  в комірку A4 слід  увести значення кута, у комірку В2 – формулу:

=2*$B$1*sin(A4*3,14/180)/$B$1

яку можна скопіювати в комірки В5, В6 і т.д.

У комірку С4 слід ввести формулу:

=2*А1^2*cos(A4*3,14/180)/$B$2,

яка копіюється в комірки С5, С6 і т.д.

Ці значення і дають  змогу скласти уявлення про досліджуване явище.

Задача. Магістраль перетинає канал під кутом, усередині якого розташований населений пункт. У якому напрямку варто прокласти через цей пункт пряму дорогу, щоб відстань по цій прямій до магістралі й до каналу була однаковою?

Розв'язання (з використанням програми GRAN 2d).

I етап. Формалізація і конструювання математичної моделі задачі. Магістраль і канал вважатимемо прямими, дорогу від магістралі до каналу — відрізком, населений пункт — точкою. Вимога задачі прокласти дорогу через даний населений пункт означає приналежність точки шуканому відрізку. Отже, переформулювавши практичну проблему мовою математики, одержимо таку задачу: побудувати відрізок із серединою в даній точці, кінці якого належать двом даним прямим, що перетинаються.

II етап. Виділення умов та вимог задачі.

Дано: дві прямі, що перетинаються, і точка всередині кута, утвореного цими прямими.

Побудувати: відрізок, який задовольняє вимогам: 1) його середина збігається з даною точкою; 2) кінці відрізка належать даним прямим.

Скористаймося евристичним методом спрощення задачної ситуації шляхом відкидання частини умов.

III етап. Створення комп'ютерної моделі задачі

За допомогою функцій, які надає панель інструментів, накреслимо прямі АВ та АС і точку D (рис.2.7).

Рис. 2.7

Виділимо вимоги, яким має задовольняти шукана фігура: 1) це відрізок; 2) його середина збігається з даною точкою; 3) один з кінців належить даній прямій АВ; 4) другий кінець належить прямій АС. Перша і друга вимоги є інваріантними, третя і четверта — невизначеними. Спростимо задачу, для чого відкинемо останню — невизначену вимогу і побудуємо відрізок, який задовольняє першим трьом вимогам.

Для цього виберемо довільну точку Е прямої АВ і прикріпимо її. Скориставшись послугою «Симетрична точка», побудуємо другий кінець відрізка із серединою в точці D. У загальному випадку протилежний кінець відрізка F не задовольняє умові належати прямій АС. Будемо пересувати точку E уздовж прямої АВ. Тоді протилежний кінець відрізка F теж описуватиме деяку траєкторію. Шуканий кінець відрізка F— це спільна точка прямої АС і геометричного місця кінця відрізка F, коли E описує пряму АВ. За допомогою контекстного меню, яке висвітиться при натисканні правої кнопки миші біля точки F, ввімкнемо функцію «Залишати слід». Помічаємо, що точка F рухається по прямій, яка паралельна АВ і розташована від точки D на такій самій відстані, що й пряма АВ. Це дає змогу висловити гіпотезу, що одержана пряма є симетричною АВ відносно D. Гіпотеза перевіряється вимірюванням відповідних відрізків.

Рис.2.8

Звідси випливає побудова. Будуємо пряму, симетричну прямій АВ відносно точки D. Перетин одержаної прямої FG і прямої АС дасть другий кінець відрізка I.

Рис. 2.9

Побудувавши точку, симетричну I відносно точки D, одержимо шуканий відрізок IJ.

Рис. 2.10

Доведення випливає із властивостей центральної симетрії.

Дослідження. За умовою, прямі АВ і АС перетинаються. Прямі АВ і FG паралельні відповідно до властивостей центральної симетрії. Тому прямі АС і FG перетинаються в єдиній точці, тобто задача завжди матиме єдиний розв'язок.

IV етап. Інтерпретація одержаного розв'язку. Щоб знайти напрямок побудови дороги, треба знайти положення ще однієї точки, через яку вона проходитиме. Для знаходження цієї точки необхідно побудувати пряму, симетричну магістралі відносно точки D. Вона перетне канал у точці, через яку потрібно побудувати дорогу.

Задача. Навколо кола описаний чотирикутних ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці E. Радіуси кіл, описаних навколо трикутників AEB, BEC i CED рівні відповідно , , . Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника AED( ).

Будуємо в середовищі всі вихідні дані (рис.2.11)

Рис.2.11

Позначимо кут AEB α, тоді кут CDE=α (вертикальні), кут BEC= AED=π-α. За формулами зведення sin(π-α)=sin α.

Рис. 2.12

За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Тобто (рис.2.13).

Рис.2.13

Тому .

Аналогічно , , (рис.2.14).

 

Рис.2.14

Оскільки в чотирикутнику ABCD вписане коло, то виконується рівність

AB+CD=BC+AD (рис.2.15).

Рис.2.15

2.3.3. Дослідницькі задачі на пошук інформації

В даний час формування вміння інформаційного пошуку - одна з найскладніших для вчителя задач. Річ у тому, що у багатьох учнів вже сформувався досвід «викачування» інформації. Сама по собі (необроблена) інформація нейтральна по відношенню до виховання і розвитку школярів. Проте не варто відмовлятися від цього виду діяльності, оскільки його роль в самоосвіті величезна. Завдяки пошуку і опрацювання інформації створюється інформаційний фон, на якому відбувається засвоєння нових знань [10].

Самостійний пошук математичної інформації учнями може буде ефективний лише тоді, коли вони будуть користуватися достовірними джерелами, тому нами було проведено аналіз електронних джерел з математики (ресурсів інтернету), які варто рекомендувати для дослідницької роботи учням.

На сайті http://www-library.univer.kharkov.ua/ukr/libsys.htm можна знайти посилання на сайти електронних бібліотек Харківської, Сумської та Полтавської областей.

Проте для вільного користування можливостями таких бібліотек користувачу потрібно ввести свій електронний читацький квиток, тобто людина, яка не є студентом даного ВУЗу користуватися його бібліотекою не може. Для «гостей» є можливість лише отримати інформацію про наявність книг в даних бібліотеках.