Задачи по "Высшей математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Октября 2011 в 19:35, задача

Описание

Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом

Скачать (158.15 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

Копия зубковказариндунюшкин.doc

— 1,010.00 Кб (Скачать документ)
 
Найдем  наибольшее значение линейной функции  графическим методом.
L =  x1 + x2
при следующих  ограничениях
3 x1 + 4 x2
12
2 x1 - x2
6
 
Решение :
В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x1 и x2 ,

которые удовлетворяют системе ограничений. По условию задачи x1 0, x2 0 ,т.е.

мы рассматриваем  только те точки , которые принадлежат первой четверти.

Шаг 1
 
Рассмотрим  неравенство 1 системы ограничений.
 
 
3 x1 + 4 x2
12 
 
 
 
·  Построим прямую.
 
 
 
 
Заменим знак неравенства на знак равенства .
 
 
 
 
 
3 x1 + 4 x2 = 12 
 
 
 
 
 
 
Преобразуем уравнение следующим образом .
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 12
   
1/3 1/4
 
 
 
 
 
 
 
 
Каждый  член уравнения разделим на 12 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 1
   
4 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Данное  представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую. 
На оси X1 рисуем точку с координатой 4 .  
На оси X2 рисуем точку с координатой 3 . 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Какие точки нас интересуют?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 x1 + 4 x2
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 x2
-3 x1 + 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2
-3/4 x1 + 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Знак  неравенства меньше или равно  нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной  нами прямой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Область допустимых значений выделена штриховкой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Точки принадлежащие области допустимых значений:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A (0 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B (4 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C (0 , 3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
Шаг 2
 
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
 
 
2 x1 - x2
6 
 
 
 
·  Построим прямую.
 
 
 
 
Заменим знак неравенства на знак равенства .
 
 
 
 
 
2 x1 - x2 = 6 
 
 
 
 
 
 
Преобразуем уравнение следующим образом .
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 6
   
1/2 -1
 
 
 
 
 
 
 
 
Каждый  член уравнения разделим на 6 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 1
   
3 -6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Данное  представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень  легко, нарисовать данную прямую. 
На оси X1 рисуем точку с координатой 3 .  
На оси X2 рисуем точку с координатой -6 . 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Какие точки нас интересуют?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 x1 - x2
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2 x1 + x2
-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2
2 x1 - 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Знак  неравенства больше или равно  нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной  нами прямой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Область допустимых значений выделена штриховкой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Точки принадлежащие области допустимых значений:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A (0 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D (3 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C (0 , 3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E (36/11 , 6/11)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Шаг 3
 
Вернемся  к нашей исходной функции L .
 
 
L =  x1 + x2
 
 
 
Допустим  значение функции L равно 1 (абсолютно  произвольно выбранное число), тогда 
 
 
 
 
1 =  x1 + x2
 
 
 
 
 
Данное  уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору
 
 
 
 
 
 
    = (1 ,1).
ON 
 
 
 
 
 
 
 
Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору
 
 
 
 
 
 
 
 
    = (1 ,1).
ON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Построим  вектор   = (1 , 1)
ON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
На  рисунке правее, вектор      изображен  красным цветом.
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Вектор       нарисован  не в масштабе,
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
исключительно для большей наглядности.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Причем  очевидно, что значение функции будет  возрастать
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
при перемещении прямой в направлении  вектора     .
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Диапазон  перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении  от точки O к точке N.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору     ,
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
до  тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В нашем  случае, касание прямой, перед выходом  из области допустимых решений, произойдет в точке E (36/11 , 6/11) . В данной точке значение функции будет наибольшим.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
Ответ :
Наибольшее  значение функция достигает при  
x1 = 36/11 
x2 = 6/11.
Значение  функции : L = 42/11
Найдем  наибольшее значение линейной функции
L =  x1 + x2
при следующих  ограничениях
   3 x1 + 4 x2
12
    2 x1 -   x2
6
 
Решение :
В двух словах смысл того, что мы будем  делать. Нам необходимо найти начальное  опорное

(абсолютно произвольное) решение для функции L, которое  бы удовлетворяло системе 

наложенных ограничений. Далее, применяя симплекс таблицы, мы будем получать решения,

при которых  значение функции будет, как минимум, не убывать. И так до тех пор, пока не

достигнем оптимально решения, при котором функция  достигает своего максимума. Если,

конечно, рассматриваемая нами линейная функция обладаем максимальным значением при

 заданной  системе ограничений. Перед применением  симплекс таблиц, необходимо преобразовать

 систему линейных  ограничений и рассматриваемую  нами функцию L к вполне 

определенному виду.

 
·  Свободные члены системы ограничений должны быть неотрицательными.
Свободные члены системы ограничений неотрицательные.
 
·  Система ограничений должна быть приведена к каноническому виду.
К левой  части неравенства 1 системы ограничений  прибавляем неотрицательную

 переменную x3 - преобразуем неравенство 1 в равенство.

К левой  части неравенства 2 системы ограничений  прибавляем неотрицательную

 переменную x4 - преобразуем неравенство 2 в равенство.

   3 x1 + 4 x2 +   x3        = 12
    2 x1 -   x2        +   x4 = 6
 
Система ограничений приведена к каноническому  виду, т.е. все условия системы 

представляют  собой уравнения.

 
·  Определимся с начальным опорным решением.
Наличие единичного базиса в системе ограничений  позволяет легко найти начальное

 опорное решение.  Рассмотрим подробнее:

Переменная x3 входит в уравнение 1 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы

с коэффициентом  ноль, т.е. x3 - базисная переменная.

Переменная x4 входит в уравнение 2 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с

 коэффициентом  ноль, т.е. x4 - базисная переменная.

Информация о работе Задачи по "Высшей математике"