Задачи по "Высшей математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Октября 2011 в 19:35, задача

Описание

Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом

Скачать (158.15 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

Копия зубковказариндунюшкин.doc

— 1,010.00 Кб (Скачать документ)
Шаг 3
 
Вернемся  к нашей исходной функции L .
 
 
L =  x1 + x2
 
 
 
Допустим  значение функции L равно 1 (абсолютно  произвольно выбранное число), тогда
 
 
 
 
1 =  x1 + x2
 
 
 
 
 
Данное  уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической  геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору 
 
 
 
 
 
 
    = (1 ,1).
ON 
 
 
 
 
 
 
 
Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как  множество прямых перпендикулярных вектору
 
 
 
 
 
 
 
 
    = (1 ,1).
ON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Построим  вектор   = (1 , 1)
ON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
На  рисунке правее, вектор      изображен  красным цветом.
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Вектор       нарисован  не в масштабе,
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
исключительно для большей наглядности.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Причем  очевидно, что значение функции будет  возрастать
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
при перемещении прямой в направлении  вектора     .
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Диапазон  перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору     ,
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
до  тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В нашем  случае, касание прямой, перед выходом  из области допустимых решений, произойдет в точке E (2 , 6) . В данной точке значение функции будет наибольшим.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

Ответ :
Наибольшее  значение функция достигает при  
x1 = 2 
x2 = 6.
Значение  функции : L = 8
Найдем  наибольшее значение линейной функции
L =  x1 + x2
при следующих  ограничениях
     x1 + 2 x2
14
    2 x1 +   x2
10
 
Решение :
В двух словах смысл того, что мы будем  делать. Нам необходимо найти начальное опорное

(абсолютно произвольное) решение для функции L, которое  бы удовлетворяло системе

 наложенных  ограничений. Далее, применяя  симплекс таблицы, мы будем  получать решения,

 при которых  значение функции будет, как  минимум, не убывать. И так до тех пор, пока не

достигнем оптимально решения, при котором функция  достигает своего максимума. Если,

 конечно,  рассматриваемая нами линейная  функция обладаем максимальным  значением при

 заданной  системе ограничений. Перед применением симплекс таблиц, необходимо

преобразовать систему линейных ограничений и  рассматриваемую нами функцию L к  вполне

 определенному  виду.

·  Свободные члены системы ограничений должны быть неотрицательными.
Свободные члены системы ограничений неотрицательные.
·  Система ограничений должна быть приведена к каноническому виду.
К левой  части неравенства 1 системы ограничений  прибавляем неотрицательную переменную

x3 - преобразуем неравенство 1 в равенство.

К левой  части неравенства 2 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную

x4 - преобразуем неравенство 2 в равенство.

     x1 + 2 x2 +   x3        = 14
    2 x1 +   x2        +   x4 = 10
 
Система ограничений приведена к каноническому  виду, т.е. все условия системы  представляют

собой уравнения.

 
·  Определимся с начальным опорным решением.
Наличие единичного базиса в системе ограничений  позволяет легко найти начальное  опорное

 решение.  Рассмотрим подробнее:

Переменная x3 входит в уравнение 1 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы

с коэффициентом  ноль, т.е. x3 - базисная переменная.

Переменная x4 входит в уравнение 2 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы

 с коэффициентом  ноль, т.е. x4 - базисная переменная.

Переменные, которые не являются базисными называются свободными переменными.

 Приравняв  свободные переменные нулю в получившийся системе ограничений мы получим

 начальное  опорное решение.

X нач = ( 0 , 0 , 14 , 10 )

 
·  Функция L не должна содержать базисных переменных.
Вернемся  к рассмотрению функции L.
L =  x1 + x2
Функция L не содержат базисных переменных.
Значение  функции L для начального решения: L (X нач) = 0
Для составления  начальной симплекс таблицы мы выполнили  все условия.
В процессе дальнейших преобразований возможны два  случая. Если в симплекс таблице,

на каком то шаге, мы получим строку L состоящую из неотрицательных элементов - задача

решена, мы нашли  оптимальное 

решение. В противном  случае - функция не является ограниченной.

Обратите внимание: 
При составлении исходной симплекс таблицы, коэффициенты при переменных функции L

записываются  с противоположными знаками, а свободный  член со своим знаком.

 
 
Шаг 1
За  ведущий выберем столбец 1 , так  как -1 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки,

принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За  ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему

 элементу  выбранного столбца для 2 строки  является наименьшим. Обратите внимание,

что отношение  мы вычисляем только для положительных  элементов столбца 1.

базисные 
переменные 		x1 x2 x3 x4 свободные 
члены 		отношение
x3
  1  
 
  2  
 
  1  
 
  0  
 
  14  
 
  14  
 
x4
  2  
 
  1  
 
  0  
 
  1  
 
  10  
 
  5  
 
L
- 1  
 
- 1  
 
  0  
 
  0  
 
  0  
 
 -

Информация о работе Задачи по "Высшей математике"