Задачи по "Высшей математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Октября 2011 в 19:35, задача

Описание

Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом

Скачать (158.15 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

Копия зубковказариндунюшкин.doc

— 1,010.00 Кб (Скачать документ)
 
Разделим  элементы строки 1 на 11/2.
базисные 
переменные 		x1 x2 x3 x4 свободные 
члены 		отношение
x3
  0  
 
  1  
 
  2  
 
11
 
- 3  
 
11
 
  6  
 
11
 
  6  
 
11
 
x1
  1  
 
- 1  
 
2
 
  0  
 
  1  
 
2
 
  3  
 
  -  
 
L
  0  
 
- 3  
 
2
 
  0  
 
  1  
 
2
 
  3  
 
 -
 
От  элементов строки 2 отнимает соответствующие  элементы строки 1, умноженные на -1/2.
От  элементов строки L отнимает соответствующие  элементы строки 1, умноженные на -3/2.
базисные 
переменные 		x1 x2 x3 x4 свободные 
члены
x2
  0  
 
  1  
 
  2  
 
11
 
- 3  
 
11
 
  6  
 
11
 
x1
  1  
 
  0  
 
  1  
 
11
 
  4  
 
11
 
  36  
 
11
 
L
  0  
 
  0  
 
  3  
 
11
 
  1  
 
11
 
  42  
 
11
 

 
X 2 = ( 36/11 , 6/11 , 0 , 0 )

L =  42/11   -3/11 x3 -1/11 x4
Значение  функции L для данного решения: L (X 2) = 42/11
Учитывая, что все x i 0, по условию задачи, наибольшее значение функции L равно

свободному члену 42/11, т.е. мы получили оптимальное решение.

Теперь  можем записать ответ.
Ответ :

X опт = ( 36/11 , 6/11 , 0 , 0 )

Значение  функции : L = 42/11

  
 
 

Вариант-16

Зубков

Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом.
L =  2 x1 + 3 x2
при следующих  ограничениях
x1 + 4 x2
12
x1 + x2
4
 
Решение :
В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x1 и x2 , которые

 удовлетворяют  системе ограничений. По условию задачи x1 0, x2 0 ,т.е.

мы рассматриваем  только те точки , которые принадлежат первой четверти.

Шаг 1
 
Рассмотрим  неравенство 1 системы ограничений.
 
 
x1 + 4 x2
12 
 
 
 
·  Построим прямую.
 
 
 
 
Заменим знак неравенства на знак равенства .
 
 
 
 
 
x1 + 4 x2 = 12 
 
 
 
 
 
 
Преобразуем уравнение следующим образом .
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 12
   
1 1/4
 
 
 
 
 
 
 
 
Каждый  член уравнения разделим на 12 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 1
   
12 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Данное  представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень  легко, нарисовать данную прямую. 
На оси X1 рисуем точку с координатой 12 .  
На оси X2 рисуем точку с координатой 3 . 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Какие точки нас интересуют?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 + 4 x2
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 x2
- x1 + 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2
-1/4 x1 + 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Область допустимых значений выделена штриховкой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Точки принадлежащие области допустимых значений:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A (0 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B (12 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C (0 , 3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Шаг 2
 
Рассмотрим  неравенство 2 системы ограничений.
 
 
x1 + x2
4 
 
 
 
·  Построим прямую.
 
 
 
 
Заменим знак неравенства на знак равенства .
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 4 
 
 
 
 
 
 
Преобразуем уравнение следующим образом  .
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 4
   
1 1
 
 
 
 
 
 
 
 
Каждый  член уравнения разделим на 4 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2 = 1
   
4 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Данное  представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень  легко, нарисовать данную прямую. 
На оси X1 рисуем точку с координатой 4 .  
На оси X2 рисуем точку с координатой 4 . 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Какие точки нас интересуют?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 + x2
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2
- x1 + 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Знак  неравенства меньше или равно  нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной  нами прямой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный справа.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Область допустимых значений выделена штриховкой.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Точки принадлежащие области допустимых значений:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A (0 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D (4 , 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C (0 , 3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E (4/3 , 8/3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Шаг 3
 
Вернемся  к нашей исходной функции L .
 
 
L =  2 x1 + 3 x2
 
 
 
Допустим  значение функции L равно 1 (абсолютно  произвольно выбранное число), тогда 
 
 
 
 
1 =  2 x1 + 3 x2
 
 
 
 
 
Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору
 
 
 
 
 
 
    = (2 ,3).
ON 
 
 
 
 
 
 
 
Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору
 
 
 
 
 
 
 
 
    = (2 ,3).
ON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Построим  вектор      
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
На  рисунке правее, вектор      изображен  красным цветом.
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Причем  очевидно, что значение функции будет возрастать
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
при перемещении прямой в направлении  вектора     .
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Диапазон перемещения  прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору     ,
ON
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
до  тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В нашем  случае, касание прямой, перед выходом  из области допустимых решений, произойдет в точке E (4/3 , 8/3) . В данной точке значение функции будет наибольшим.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

Информация о работе Задачи по "Высшей математике"