Возможности использования ИКТ в изучении координат на плоскости в курсе математики 5 – 9 классов

     т.е.                                           (3)

     Замечание: если при вычислении площади треугольника получили S = 0, то это означает, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если же получили отрицательное число, то следует взять его модуль.

Задача 4. О составлении уравнения линии.

     Даны две точки М₁ (х₁; у₁) и  М₂( х₂; у₂). Составить уравнение прямой М₁М₂.

     Решение: пусть точка М (х; у) – текущая точка прямой М₁М₂. Тогда М принадлежит М₁М₂ если, и только если вектор М₁М и М₁М₂ коллинеарны, т.е. справедливо равенство: М₁М = t*М₁М₂, где t є R (рис. 5).

       Используя координаты точек,  запишем векторное равенство в координатной форме. Учитывая, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты, получим два равенства: 
х – х₁ = t(х₂ – х₁), у – у₁ = t(у₂ – у₁). 
 
 
 

     Выражая х и у, получаем: 

х = х₁ + t(х₂ – х₁), 

у = у₁ + t(у₂ – у₁).  (4)

     Равенства (4) называют параметрическими уравнениями  прямой М₁М₂. Каждому значению параметра t из множества действительных чисел соответствуют координаты некоторой точки данной прямой, которые можно вычислить, используя равенства (4). При выводе этих уравнений мы использовали вектор М₁М₂ и точку М. то же можно сделать, если будут заданы точка М₀(х₀; у₀) и параллельный этой прямой вектор m(m₁;m₂). Он называется направляющим вектором прямой. Вектор m≠0, поэтому его координаты не могут одновременно равняться нулю. В этом случае условием принадлежности точки М данной прямой будет векторное равенство: М₀М=t*m (t – действительное число), которое выражается в координатах следующим образом:

     х-х₀=tm₁, y-y₀=tm₂.

     Выражая х и у, получим:

      х=х₀+tm₁,                                       (5)     

     y=y₀+tm₂.

     Получены  параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку (х₀; у₀) и параллельной данному вектору (m₁; m₂).

     Из  параметрических уравнений (4) исключим параметр t. Так как точки М₁ и М₂ различны, то вектор М₁М₂≠0. При этом одно из выражений х₂-х₁, у₂-у₁ отлично от нуля. Пусть х₂-х₁≠0, тогда из первого уравнения выразим параметр t.  
Подставим это значение t во второе уравнение, получим равенство

     

     Получили  уравнение прямой, проходящей через  две данные точки М₁ (х₁; у₁) и  М₂( х₂; у₂), которое удобно записать в следующем виде:

     (х-х₁)(у₂-у₁)=(у-у₁)( х₂-х₁).                          (6)

     В том случае, когда х₂-х₁≠0 и у₂-у₁≠0, это уравнение для лучшего запоминания представить в кананической форме:

                                                          (7)

     Аналогично  можно исключить t из уравнений (5). Получим уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀; у₀), параллельной данному вектору m(m₁;m₂):

m₂(x-x₀)=m₁(y-y₀).                                                     (8)

     Если  m₁≠0 и m₂≠0, то его можно представить в канонической форме:

       
                                                          (9)

       Каждое из уравнений (6), (7), (8), (9) можно привести к общему виду уравнений прямой:

Ах+Ву+С=0, где А²+В²≠0.                                    (10)

     Например, из равенства (9) можно получить, что  m₂x-m₁y+m₁y₀-m₂x₀=0. Положим m₂=A, -m₁=B, m₁y₀+m₂x₀=C, получим уравнение (10) при условии, что А²+В²≠0, так как вектор m≠0 и m₁²+m₂²≠0, т. е. вектор m(-В; А) параллелен данной прямой.

     Теперь  докажем, что любое уравнение  вида (10) есть уравнение некоторой  прямой. Для определенности считаем, что А≠0. Тогда х=(-В/А)у-С/А. Возьмем любое значение у=у₀. Для него вычислим х₀=(-В/А)*у₀-С/А. Легко убедиться, что уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) и параллельной вектору m(-В;А) (используется равенство (8)), эквивалентно уравнению (7).

     Доказано, что всякая прямая может быть задана уравнением (7) и всякое уравнение  вида (7) определяет некоторую прямую. Итак, Ах+Ву+С=0 при А²+В²≠0 есть уравнение прямой. Полезно иметь ввиду, что числа (-В) и А можно принять за координаты направляющего вектора этой прямой.

     Задача  5. О исследовании общего уравнения прямой.

     1) Пусть в общем уравнении прямой  коэффициент В=0, то есть Ах-С=0, тогда А≠0. Уравнение (10) примет  вид: х=а, где а=-С/А. Направляющий  вектор m этой прямой имеет координаты (0; А), следовательно прямая параллельна оси ОУ. Она проходит через точку Т(а; 0), так как числа х=а, у=0 удовлетворяют уравнение прямой.

     Если  в уравнении (10) А=0, то это уравнение  записывается в виде у=в. В этом случае прямая параллельна оси ОХ.

     2) Если в уравнении прямой С=0, то есть Ах+Ву=0, то числа х=0, у=0 удовлетворяют этому уравнению.  Прямая проходит через начало  координат.

     3) Нормальный вектор прямой –  это вектор, перпендикулярный прямой. Рассмотрим вектор n(А; В) и умножим его скалярно на направляющий вектор m(-В; А) данной прямой:

     n*m=-А*В+В*А=0, так как (m┴ℓ, m║ℓ)=>(m┴n).

     Пусть известны координаты точки М₀(х₀; у₀) прямой и координаты ее нормального вектора n(А; В). Если М(х; у) – текущая точка прямой, то векторы М₀М и n взаимно перпендикулярны, следовательно

     А(х-х₀)+В(у-у₀)=0                                                     (11)

     Это необходимое и достаточное условие  перпендикулярности векторов М₀М и n есть уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) перпендикулярно вектору n(А; В).

     4) Угловой коэффициент прямой.

     Если  прямая не параллельна оси ОУ, то в ее общем уравнении (10) коэффициент  В отличен от нуля и уравнение  можно записать в виде: 

     Положим  

     Тогда, у=κх+в есть уравнение прямой с угловым коэффициентом κ.

     Выясним геометрический смысл κ и в. Вектор m(1; κ) является направляющий для этой прямой. Если вектор m с положительным направлением оси ОХ образует угол φ, то tg(φ)=κ. Это число называется угловым коэффициентом  данной прямой. Ось ОУ данная прямая пересекает в точке Т(0;в); так как ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.

     При анализе школьной программы общеобразовательных  учреждений по математике выяснилось, что типовые задачи на координатной плоскости: расстояние между двумя  точками, деление отрезка в данном отношении, площадь треугольника изучаются  в курсе геометрии, а изучение уравнения прямой – в курсе  алгебры (построение графика линейной функции, влияние коэффициента κ на расположение прямой в координатной плоскости). Задача о составлении уравнений прямой изучается в курсе геометрии в школах (классах) с углубленным изучением математики. 

     1.1.3. Гипербола. Исследование гиперболы по ее уравнению 

     Гипербола есть множество точек, разность расстояний от которых по абсолютной величине до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная. Точки F₁ и F₂ называются фокусами гиперболы ³.

     Для любой точки М гиперболы, , где а = const     (12)

     Расстояние  между фокусами обозначим через 2с, с > а.

      Выбираем на плоскости систему  координат. Середину О отрезка F₁F₂ примем за начало координат, ось Ох проводим через фокусы (рис. 6 ). Тогда F₁ (- с; 0), F₂(с; 0), М(х; у), 
 
 
 
 
 
 
 
 

       На основании равенства (12) получим уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки гиперболы:

       

     Возведем  в квадрат обе части равенства  в квадрат и раскроем квадрат  двучлена, получим:

     х² + 2хс + с² + у² = 4а² 4а + х² – 2хс + с² + у².

     Опять возведем обе части в квадрат  и приведем подобные члены.

     х²с² – 2хса² + а⁴ = а²х² – 2хса² + а²с² + а²у².

     х²(с² – а²) – а²у² = а²(с² – а²), 

     Так как с > 0, то с² – а² > 0. Положительную величину с² – а² можно обозначить через b². Получаем окончательное уравнение гиперболы 

     Можно вычислить расстояние от любой точки, координаты которой удовлетворяют  этому уравнению до фокусов, и  показать, что их разность по модулю равна 2а.

     Итак, уравнение гиперболы имеет вид (13). Это уравнение было получено при специальном выборе системы координат. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

     Исследование  уравнения гиперболы.

     1. Пересечение гиперболы с осями  координат.

     В уравнении (1) положим у = 0, получим х² = а², х = а.

     Точки А₁(- а; 0), А₂(а; 0) – точки пересечения гиперболы с осью абсцисс. Они называются вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂ = 2а называется действительной осью гиперболы.

     Из  уравнения (13) следует, что Это равенство возможно лишь при х² – а² 0, то есть х² а², тогда х а, а х. Это означает, что не существует точек гиперболы при – а < x < a. Абсциссы точек гиперболы находятся на оси Ох вне интервала (- а; а).

       При а = 0 получим, что – у² = b². Это уравнение решений не имеет, следовательно, данная гипербола не пересекает ось ординат.

     2. Симметрии гиперболы.

     Если  точка М₁(х₁; у₁) принадлежит гиперболе, то 

       Для координат точек М₂(х₁; - у₁), М₃(- х₁; у₁), М₄(- х₁; - у₁) также выполняются это равенство, значит они также принадлежат гиперболе. Отсюда следует, что гипербола симметрична относительно осей абсцисс и ординат и начала координат (рис. 7). 
 
 
 
 
 
 
 

     3. Асимптоты гиперболы.

     Оказывается, что текущая точка гиперболы  при движении по ней в бесконечность  неограниченно приближается к некоторой  прямой, котороя называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения: 

     4. Эксцентриситет гиперболы.

     Отношение с/а = e называется эксцентриситетом гиперболы. Так как       с² – а² = b², то с > а, значит е > 1. Число е характеризует форму гиперболы. Если зафиксируем число а, число b будем изменять от нуля до бесконечности, то число с будет изменяться от а до бесконечности, а эксцентриситет от 1 до бесконечности. В этом случае угловой коэффициент асимптоты – b/а – изменяется от нуля до бесконечности.