Планирование производства продукции растениеводства

35

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Департамент научно- технологической политики и образования

ФГОУ ВПО

Иркутская государственная сельскохозяйственная академия

Экономический факультет

Кафедра информатики и математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ «Планирование производства продукции растениеводства»

Выполнил:

студент 4 курса

спец. 080502.65

Гайдар А.А.

Проверил:

Бузина Т.С.

Иркутск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

1 Основные понятия математического программирования……………..……..4

1.1 Постановка задачи линейного программирования………………………....5

1.2 Методы решения линейного программирования…………………..……….6

2 Модель оптимизации структуры производства продукции

Растениеводства………………………………………………………………….13

2.1 Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности…………..…14

2.2 Сбор и обработка исходной информации……………………………….…19

3 Анализ результатов решения задачи…………………………………………33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….…34

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………...35

ВВЕДЕНИЕ

Работа над данным курсовым проектом позволяет закрепить знания по предмету «Математические методы производственных процессов».

Развитие экономико-математических методов, обеспечивающих принятие рациональных решений по управлению  производством, создало новое специфическое научное направление - математическое моделирование экономических процессов. [4]

Современный специалист должен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их практически применять для моделирования реальных экономических ситуаций, выявления наилучшего способа действия при решении той или иной задачи. [5]

Существуют различные методы решения моделей- это методы линейного программирования, динамического программирования, целочисленного программирования и другие. [3]

Цель данной курсовой работы - определить оптимальную структуру производства продукции растениеводства, соответственно ей структуру сельскохозяйственных культур и посевные площади.

Для достижения этой цели поставлены задачи:

Рассмотреть основные понятия математического программирования, задачи линейного программирования и методы их решения, построить математическую модель оптимизации производства продукции растениеводства и решить задачу оптимизации. [3]

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

       Математическое программирование - раздел науки об исследовании операций, охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.

         Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

  Математическая формулировка задачи математического программирования.: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве

  X = {x: gi(x) ³ 0, hi(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},

  где gi(x) и hi(x) — также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи математического программирования — оптимальной точкой (вектором).

        Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алго­ритмов и программ.

Линейное программирование (планирование) - математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений.

Максимизируемая (минимизируемая) функция представляет собой принятый критерий  эффективности решения задачи, соответствующей поставленной цели. Она носит название целевой функции. Ограничения характеризуют  имеющиеся возможности решения задачи.

1.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

  В общем виде задача линейного программирования записывается следующим образом:

                                                                                     (1)

                                                                                                       (2)

                                                                                                              (3)

где f – целевая функция или критерий эффективности задачи, - переменная, - заданные постоянные величины, - индексы.

   Задачу (1) – (3) называют стандартной задачей линейного программирования. Совокупность чисел , удовлетворяющим условиям  (1) – (3), представляют собой допустимое решение или план.  План , при котором критерий оптимальности (1) принимает экстремальное значение принято называть оптимальным. Очевидно, что, если целевая функция (1) стремится к максимуму, тогда , в противном случае, когда целевая функция достигает минимума, - .

   С помощью задачи линейного программирования определяется структура сельскохозяйственного производства предприятия и его отраслей, скотоводства и растениеводства.

   Любая стандартная задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду. В этом случае неравенства (2) преобразуются в равенство вводом дополнительных переменных. Если связь левой и правой частей условия определяется символом «», тогда в левую часть добавляют неотрицательную переменную. При другом виде неравенства «» из левой части вычитают дополнительную неотрицательную переменную.

Таким образом, ограничение (2) преобразуется в равенство:

   .

  Кроме преобразования стандартной задачи к каноническому виду, возникают задачи замены минимизации целевой функции ее максимизацией и наоборот. Для этого используется равенство или .

1.2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В математическом программировании принято выделять следующие методы решения задач:

1.      Симплекс – метод

2.      Графический метод

3.  С помощью пакета Анализ данных.

Симплекс – метод

Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (начальное опорное решение); оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов (итераций).

Рассмотрим две разновидности симплексного метода: симплекс – метод с естественным базисом и симплекс – метод с искусственным базисом (М – метод).

Симплекс – метод с естественным базисом. Для применения этого метода задача линейного программирования должна быть сформулирована в конической форме, причем матрица системы уравнений должно содержать единичную подматрицу размерности . В этом случае очевиден начальный план (неотрицательное базисное решение).

Для определенности предположим, что первые m векторов матрицы системы составляют единичную матрицу.

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью критерия оптимальности, переход к другому опорному плану – с помощью преобразований Жордана – Гаусса и с использованием критерия оптимальности.

Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т. д.  Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге  либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получаются оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.

Признак оптимальности заключается в следующих двух теоремах:

Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие:

                , где                              (4)

То можно получить новый опорный план, для которого значение целевой функции будет больше исходного; при этом могут быть два случая:

а)если все координаты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительные, то ЗЛП не имеет решения;

б)если имеется хотя бы одна положительная координата у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

Теорема 2. Если для всех векторов выполняется условие

                                   ,                    (5)

то полученный план является оптимальным.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор Аk, давший отрицательную минимальную величину симплекс – разность:

                                                       (6)

Чтобы выполнилось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор Аr, который дает положительное минимальное отношение:

                    ;.                (7)

Симплекс-метод с искусственным базисом.

Применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанный в конической форме.

Этот метод заключается в применении правил симплекс-метода к задачи. Она получается из исходной добавлением к левой части системы уравнений в канонической форме исходной задачи линейного программирования таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных линейно-независимых векторов.

Путем преобразований число вводимых переменных, составляющих искусственный базис, может быть уменьшено по одной.

Графический метод решения задач линейного программирования

Графический (геометрический) метод решения задач линейного программирования основан на геометрической интерпретации этой задачи.

Суть самой ин­терпретации заключается в том, что система функциональных и прямых ограничении; представляет собой систему ли­нейных неравенств, решение которой (в случае их непротиворе­чивости) задает в n-мерном пространстве выпуклый замкнутый или незамкнутый многогранник, а приравнивание целевой функ­ции некоторому произвольному значению определяет в этом пространстве гиперплоскость уровня целевой функции.

При изменении значения целевой функции гиперплоскость уровня смещается параллельно самой себе, и очевидно, что целевая функция достигает своего максимума или минимума в угловых точках (вершинах) многогранника области допустимых решений или на множестве точек, являющихся линейными комбинациями этих вершин (ребро, грань). Направление смещения гиперплоскости уровня целевой функции при возрастании ее значения совпадает с направлением вектора-градиента скалярной целевой функции.

Графический метод решения задач линейного программирования предполагает соответству­ющую иллюстрацию (чертеж) решения, и, следовательно, этим методом можно решать задачи с двумя (на плоскости) или с тре­мя (в трехмерном пространстве) переменными. Так как графи­ческая иллюстрация в трехмерном пространстве сопряжена с определенными техническими трудностями, то, как правило, этим методом решают задачи линейного программирования с двумя переменными. В этом случае область допустимых решений будет иметь вид выпуклого замкнутого или незамкнутого многоугольника, а линия уровня целевой функции будет пред­ставлять собой прямую линию.

Анализ этапов решения рассматриваемой задачи графичес­ким методом позволяет сделать вывод о трех особых случаях, ко­торые могут встретиться при решении задач линейного программирования данным методом:

1) задача линейного программирования не имеет решения в виду неограниченности целевой функции. Этот случай может иметь место, когда область допустимых решений представ­ляет собой выпуклый незамкнутый многоугольник, при этом не замкнутость направлена в ту сторону, куда перемещается ли­ния уровня.