Исследование вариационного ряда

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСТИТЕТ)

филиал  «ВОСХОД» 
 
 
 

Кафедра МО и  ПОИС 
 
 

Утверждаю

Преподаватель _______ Беловодская Л.А.

                                                                                                  «___» ________ 2007 г. 
 
 

К У Р С О В  А Я   Р А  Б О Т А 

         тема: «Исследование вариационного ряда»

         по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика. 
 
 
 
 
 
 
 

 

Выполнил: студентка группы ДЭ 2-06

      _______ Сарыева Н.Т.

                                                                       «____» _________ 2007г. 
 
 
 
 
 
 

г. Байконур

2007 г. 

Содержание 

    1. Теоретическая  часть

    1.1 Понятие  случайного события. Виды событий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

    1.2 Формула  вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

    1.3 Основные  формулы для вероятностей событий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4 Дискретные  случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

    1.5 Непрерывные  случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.6 Выборка  и её распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  9

    1.7 Вариационный  ряд и его числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

    1.8 Статистические  оценки параметров распределения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

    1.9 Статистическая  проверка. Статистические гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

    2. Практическая  часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . .  . . . . . . . . . . 15

    3. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  30

    4. Список  литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

    5. Приложение  – графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . 32 
 
 
 
 
 

   
 
 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть

 

      Теория  вероятности – есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

      Математическая  статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений.

      Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении  одного и того же опыта каждый раз  протекает несколько раз по-иному.

      Каждая  наука в своей основе имеет  начальное понятие. Таким начальным  понятием для ТВ является понятие события. 

      1.1 Понятие случайного  события. Виды  событий 

      Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий называется опытом или испытанием. При этом комплекс условий или опыт, в результате, которого наступает определённое событие, может быть воспроизведён сколь угодно большое число раз в неизменных условиях.

      Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта или испытания.

      Событие обозначается – A,B,C,…

      Событие называется действительным, если оно обязательно произойдёт в результате данного испытания.

      Невозможное событие – оно не может произойти в результате данного испытания.

      Два события называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.

      События A и B называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

      Два события A,Ā (не A) называются противоположными, если не появление одного из них в результате испытания влечёт появление другого.

      Событие A называется благоприятствующим событию B, если событие A влечёт за собой событие B.

      Если  группа событий такова, что в результате испытаний обязательно должно произойти одно из них, и любые два из этих событий несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

      События называются равновозможными, если по условию испытания нет основания считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. 

      Операции  над событиями 

      

1. Сложение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

      Пусть A и B совместные события, тогда сумма будет состоять в том, что наступит событие A или B  или оба вместе.

      Если  события A и B несовместные, то суммой этих событий является наступление события A или B.

2. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

 

      1.2 Формула вероятности 

      Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

      Каждый  из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом.

      Классическое  определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечёт за собой наступление этого события.

      Вероятность события A равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

            P(A)=          (1)

n – общее число исходов,

m – число благоприятствующих исходов. 

      1.3 Основные формулы  для вероятностей  событий 

      

1. Формула полной вероятности.

      Теорема: Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁,B₂,…,B_n, образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

P(A)=P(B₁)·P_B1(A)+P(B₂)·P_B2(A)+…+P(B_n)·P_Bn(A)-фор-а полной вероятности.

2. Формулы Байеса.

      B₁,B₂,…,B_n-гипотезы.

      P_A(B_i)=P(B_i)·P_Bi(A)/P(B_i)·P_Bi(A)+P(B₂)·P_B2(A)+…+P(B_n)·P_Bn(A)

      Давая значения i=1,2,…,n получим формулы Байеса.

3. Формула Бернулли.

      Пусть проводится n-независимых испытаний. Требуется определить вероятность того, что в m-испытаниях наступит событие A, если его вероятность наступления в каждом испытании = P.

      Пусть в первых m-опытах событие A наступит. А в остальных n-m-опытах событие A не наступит. => мы имеем AĀ

      P(AĀ)=P(A)·P(Ā)=p^m(1-p^m)=p^m·q^n-m   (*)

      P_n(m)=C _n^m·p^m·q^n-m     (**)-формула Бернулли.

      В формуле (*) вычислена вероятность  события AĀ при условии, что событие A наступит в первых m-испытаниях, для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации из m по n и получить формулу (**).

      C_n^m=n!/(n-m)!m!

4. Формула Пуассона.

      Теорема: Если вероятность P наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие A наступит m-раз ≈

      P_n(m)=λ^m·e^-λ/m!,где λ=np => p=λ/n

      n- число испытаний,

      p- вероятность наступления события. 

      1.4 Дискретные случайные  величины 

     Виды  случайных величин:

     -дискретные;

     -непрерывные.

      Дискретной  или прерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определёнными вероятностями.

      Дискретные  величины могут быть:

      -конечными;

      -бесконечными.

      Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.. вполне очевидно, что непрерывная величина не может быть конечной. Непрерывные случайные величины это бесконечные величины. 

Закон распределения вероятностей дискретной случайной  величины 

      Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Задаётся закон распределения как функция. Также может задаваться в виде таблицы, формулы или графика. Чаще всего задаётся в виде таблицы. 

      =1 
 

      Числовые  характеристики случайных  величин 

      

1. Математическое  ожидание.

      Математическим  ожиданием M(x) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

                   M(x)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=     (2)

      Для бесконечного числа значений математическое ожидание задаётся:

       M(x)= – чтобы существовал этот ряд нужно чтобы он сходился.

      Замечание: из определения математического ожидания =>, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть величина не случайная, а постоянная.

2. Среднее арифметическое значение случайной величины:

       =(x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k)/n=x₁w₁+x₂w₂+…+x_kw_k (3) 

       Допустим, что произведено достаточно большое  число испытаний, тогда:

                   w₁≈p₁, w₂≈p₂, … , w_k≈p_k   =>

                    ≈p₁x₁+p₂x₂+…+p_kx_k=M(x)

                    =M(x)        (4)

      Среднее значение, а значит и математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений случайной величины X.