Исследование вариационного ряда

      На  числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Т.о. математическое ожидание характеризует расположение распределения случайной величины, и его называют центром распределения.

      Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, в противном случае, случайные величины называются зависимыми.  

      Дисперсия дискретной случайной  величины 

Отклонение  случайной величины от её математического  ожидания

      X-случайная величина,

      M(x)- её математическое ожидание,

      X-M(x)- отклонение случайной величины от её математического ожидания.

      Теорема: (свойство отклонения): математическое ожидание отклонения =0.

            M(X-M(x))=0

            M(x)-M(M(x))=M(x)-M(x)=0

      Дисперсия дискретной случайной  величины

      Дисперсией (рассеивание) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ожидания случайной величины от её математического ожидания.

            D=M[(X-M(x))²]        (5)

            D=M[(X-M(x))²]=[x₁-M(x)]²p₁+[x₂-M(x)]²p₂+…+[x_n-M(x)]²p_n (6)

      Формула для вычисления дисперсии

      Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом её математического ожидания.

            D(x)=M(x²)-[M(x)]²       (7) 

      Среднее квадратичное отклонение 

      Средним квадратичным отклонением величины называют квадратный корень из дисперсии.

            σ(x)=          (8)

      Теорема: Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин.

            σ(x₁+x₂+…+x_n)=√σ²(x₁)+σ²(x₂)+…+σ²(x_n) 

      1.5 Непрерывные случайные  величины. Функция распределения 

      Для характеристики непрерывной случайной  величины целесообразно использовать не вероятность X=x, а вероятность события, что X<x, где x-некоторое действительное число.

      Функцией  распределения случайной  величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значения <x, то есть:

            P(X<x)=F(x) 

      Определение плотности распределения 

      Плотностью распределения вероятности непрерывной случайной величины называют функцию f(x) равную 1-ой производной от функции распределения:

            f(x)=F^’(x)         (9)

      f(x) иногда называют дифференциальной функцией распределения. => F(x) является первообразной для функции плотности распределения.

      Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b) равна определённому интегралу от функции плотности распределения, взятому в промежутке от a до b.

            P(a<x<b)=      (10)

      Если  f(x)-чётная, а концы интервала симметричны относительно начала координат, то справедлива формула:

            P(-α<X<α)=P(׀X׀<α)=2      (11)

      Числовые  характеристики непрерывных  случайных величин

            

      Перейдём  к пределу этой суммы:

            lim

            ∆x_i→0 (n→∞)

      Определение1: Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат [a,b] называется определённый интеграл:

            M(x)=         (12)

      Определение 2: Если возможные значения случайной величины X принадлежат всей оси OX, то математическое ожидание вычисляется:

            M(x)=         (13)

      Замечание: Предполагается, что несобственный интеграл в формуле (13) сходится абсолютно.

      Дисперсией  непрерывной случайной  величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения, то есть если X принадлежит [a,b],то:

            D(x) =       (14)

      Если  случайная величина принадлежит всей числовой оси, то:

            D(x)=       (15)

            D(x)=       (16)

            D(x)=       (17)

            σ(x)=          (18)

      Замечание: свойства математического ожидания и дисперсии для дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывных случайных величин. 
 
 

      1.6 Выборка и её  распределение 

      Выборочная  и генеральная  совокупности. Типы выборок 

      Выборочной  совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

      Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

      Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

      После составления выборки можно поступить 2-мя способами. После того как объект отобран и обследован он может быть возвращён или не возвращён в генеральную совокупность. Поэтому выборки подразделяются на:

      - повторные;

      - бесповторные.

      Выборка должна быть представительной, т.е. правильно  представлять пропорцию генеральной совокупности.

      Выборка должна быть представительной, если её осуществлять случайным образом.

      Способы отбора:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части.

      Статистические  распределения выборки.

      Объём выборки равен:

            n=n₁+n₂+…+n_k        (19)

      Наблюдаемые значения x_i- называются вариантами.

      Последовательность  вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

      Числа n₁,n₂, … ,n_k называются частотами наблюдений. А их отношение к объёму всей выборки называется относительными частотами.

                      (20)

      Статистическим  распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

      Эмпирическая  функция распределения

      Эмпирической  функцией распределения называют функцию  F^*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x.

            F^*(x)= где n_x- число вариант,     (21)

                                n- объём выборки.

      Свойства  функции F^*(x):

1. 0≤ F^*(x)≤1
2. F^*(x) не убывающая функция.
3. Если x₁- наименьшая варианта, то F^*(x)=0 для любых X<x.

      Если  x_k- наибольшая варианта, то F^*(x)=1, X>x₂.

      Полигон частот и гистограмма

      Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x_i;n_i). По оси абсцисс откладывают точки x_i, а по оси ординат- соответствующие значения n_i (частоты). Точки (x_i;n_i) соединяют отрезками прямых. Если вместо частот n_i брать относительные частоты, то можно построить полигон относительных частот, соединив точки (x_i;w_i) отрезками прямых.

      Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки длиной h, а высоты равны . Величина называется плотностью частоты.

      Площадь всей ступенчатой фигуры равна:

            n₁+n₂+…+n_k=n        (22) 

      Гистограммой  относительных частот называют ступенчатую  фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные  интервалы длиною h, и высотою .

            w₁+w₂+…+w_n=1

      => Площадь всей гистограммы относительных  частот равна 1. 

      1.7 Вариационный ряд  и его числовые  характеристики 

      Выбор объекта из генеральной совокупности и измерение значения признака называется статистическим наблюдением.

      Признак- это значение случайной величины.

      Результаты  этих наблюдений фиксируются в протоколе  и дневнике наблюдения в порядке  их появления.

      Если  количество вариант слишком велико или близко к объёму выборки, то целесообразно  составить вариационный ряд по интервалам значений.

      По  интервалам составляется также вариационные ряды для непрерывной генеральной  совокупности.

      Числовые  характеристики вариационного  ряда. Эмпирическая функция распределения

                              0, x≤ x₁

                              

            F^*(x)= 

                              ……………………..

                              

                              1, x> x_k

      Стоящие выражения в правой части будем  называть накопленными частотами.

      Если  вариационный ряд составлен по интервалам значений, то в качестве представителя  интервала берут середину интервала, можно также брать и правый конец интервала. 

      Числовые  характеристики выборки

      Среднее арифметическое определяется по формуле:

             =         (23)

      Если  вариационный ряд уже составлен, то:

             =         (24)

      где x_k- варианты случайной величины,

             n_k- соответствующие им частоты.

             =       (25)