Исследование вариационного ряда

lign="justify">      c- ложный ноль, с помощью него можно уменьшить значения чисел,

      x_i- варианты,

      Число k- постоянный шаг вычислений.

      При переменном шаге следует пользоваться формулой (25). Если вариационный ряд  составлен по интервалам, то за c следует взять середину интервала.

      Формулы (24) и (25) также можно упростить следующим образом:

             =        (26)

             =       (27)

      Дисперсия выборки

      Дисперсия выборки вычисляется по формуле:

                   (28)

                   (29)

             =     (30)

      Среднее квадратичное отклонение (стандартное  отклонение):

             =         (31)

      Мода

      Если  вариационный ряд составлен по значениям генеральной совокупности, то модой выборки называется значение, имеющее максимальную частоту.

      Если  вариационный ряд составлен по интервалам значений, то:

            M_o=x₀+k·      (32)

      x₀- значение модального интервала, имеющего максимальную частоту,

      k- длина модального интервала,

      n_i- частота модального интервала,

      n_i-1,n_i+1- частоты, соответственно предшествующего и последующего за модальным интервалом. 

      1.8 Статистические оценки  параметров распределения 

      Статистической  оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Несмещённые, эффективные и  состоятельные оценки.

      Несмещённой называют статистическую оценку Ө^* , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Ө при любом объёме выборки, т.е.

            M(Ө^*)=Ө          (33)

      Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

            M(Ө^*)<>Ө

      Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

      Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.  

      Выборочная  дисперсия

      Выборочной  дисперсией D_В называют среднее арифметическое квадрат отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

      Если  все значения x₁,x₂,…,x_n признака выборки объёма n различны, то

            D_В=        (34)

      Если  значения x₁,x₂,…,x_k признака имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причём n₁+n₂+…+n_k=n, то

            D_В=        (35)

      Выборочное  среднее квадратичное отклонение

      Выборочным  средним квадратичным отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

            σ_В=           (36)

      Формула для вычисления дисперсии

      Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов  значений признака минус квадрат  общей средней:

            D_В=         (37)

      Оценка  генеральной дисперсии  по исправленной выборочной

            M(D_В)=        (38)

      Легко исправить выборочную дисперсию  так, чтобы её математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить D_В на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через s²:

            s²= ·D_В=      (39)

      Исправленная  дисперсия является, конечно, несмещённой  оценкой генеральной дисперсии.  

      1.9 Статистическая проверка. Статистические гипотезы 

      Определение1. Статистической гипотезой называется всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

      Определение2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу. Обозначают H₀.

      Определение3. Конкурирующей или альтернативной называют гипотезу, которая противоречит нулевой:H₁.

      Простой называют гипотезу, которая содержит только одно предположение. 

      Критическая область. Критические  точки 

      Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

      Областью  принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

      Критическими  точками – k_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

      Различают:

      - односторонние;

      - двусторонние области.

      Односторонние:

      - правосторонние;

      - левосторонние.

      Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством:

      K>k_кр, где k_кр- положительное число.

      Левосторонней критической областью называют область, определяемую неравенством:

      K<-k_кр, где k_кр- отрицательное число.

      Двусторонней  критической областью называют критическую область, которая определяется следующим неравенством:

            K<k₁,K>k₂,k₂>k₁

      Нахождение  критической точки в случае правосторонней области: для этого нужно найти  критическую точку. Задаются достаточно малой вероятностью, которая называется уровнем значимости α. Затем точку, которая удовлетворяет условию:

            P(K>k_кр)=α         (40)

      Левосторонняя критическая областью критическую  точку находят, исходя их требования, что:

            P(K<-k_кр)=α        (41)

      При двусторонней критической области симметричной относительно 0 уровень значимости берётся равным α/2.

            P(K>k_кр, K<-k_кр)=α/2       (42)

      Сравнение выборочной средней  с генеральной  средней

      2 случая:

      1. Дисперсия генеральной совокупности известна.

      2. Дисперсия генеральной совокупности не известна.

      Правило1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀:a=a₀ при конкурирующей гипотезе H₁:a≠a₀ нужно вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле:

            T_набл=        (43)

и по таблице  критических точек распределения  Стьюдента по α и k найти двустороннюю критическую точку t_{двуст.кр}, если │T_набл│< t_{двуст.кр}, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

      Если  │T_набл│> t_{двуст.кр}, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. наблюдаемый параметр попал в критическую область. 

2.Практическая  часть 

      Задача 1.9 

      В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными?

таблица 1 

 

      Решение: Общее число случаев, очевидно равно ; число благоприятных случаев , откуда вероятность интересующего нас события 

       С =30!/2!·27!=28·29·30/6=4060

       4!·26!/2!2!·1!·25!=156

        

      Ответ:  

      Задача 2.9

      В магазине выставлены для продажи  n изделий, среди которых k изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?

таблица 2 

 

      Решение: Среди 18 изделий, каждая из которых взята случайным образом, было 3 некачественных. Вероятность того, что взята некачественная деталь

       =18!/3!·15!=816

       6!/3!·3!=20

        

      Ответ:  

      Задача 3.9

      На  сборочное предприятие поступили  однотипные комплектующие с трёх заводов в количестве: n₁ первого завода, n₂ со второго, n₃ с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p₁, на втором p₂, на третьем p₃. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

таблица 3 

 

      Решение:

   A₁ события выбора качественного изделия изготовленные соответственно

         A₂      на первом, втором или третьем заводах.

         A₃ 

        

        

      

      В- вероятность выбора качественного  изделия