P_A1(B)- вероятность выбора качественного изделия изготовленного на 1 заводе

      P_A2(B)- вероятность выбора качественного изделия изготовленного на 2 заводе

      P_A3(B)- вероятность выбора качественного изделия изготовленного на 3 заводе 

      P_A1(B)=0,8

      P_A2(B)=0,9

      P_A3(B)=0,8 

      Формула полной вероятности: 

      P(B)=P(A₁)· P_A1(B)+ P(A₂)· P_A2(B)+ P(A₃)· P_A3(B)

      P(B)= 0,2·0,8+0,5·0,9+0,8·0,3=0,82 

      Ответ: P (B)=0,82 
 

      Задача 4.9

      Дано  распределение дискретной случайной  величины Х. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

таблица 4 

 

      Решение:  Формула для расчета математического ожидания:

      M (X)=x₁· p₁+ x₂· p₂+ x₃· p₃ +x₄· p₄

      M (X)= (-3) =1,2

      Найдем  математическое ожидание Х²:

      M (X²)=x_1²· p₁+ x_2²· p₂+ x_3²· p₃ +x_4²· p₄

      M (X²)= 9·0,3+4·0,4+9·0,1+25·0,2=10,2

      Формула для вычисления дисперсии:

      D(X)=M(X²)-[M(X)]²

      D(X)=10,2-1,44=8,76

      Формула среднего квадратического  отклонения:

      

        

      Ответ: M (X)=1,2

               δ ≈2,96 

      Задача 5.9

      В городе имеются N оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

таблица 5 

 

      Решение:  Дискретная случайная величина Х (число баз, на которых искомый товар отсутствует ) имеет следующие возможные значения:

      х₁=0 (ни в одной из баз искомый товар не отсутствует)

      х₂=0 (один товар отсутствует)

      х₃=0 (два товара отсутствуют)

      х₄=0 (три товара отсутствуют)

      х₅=0 (четыре товара отсутствуют)

      Отсутствие  товаров независимы один от другого, вероятности отсутствия каждого товара равны между собой, поэтому применима формула Бернулли:

      

      n=4

      p=0,3

      q=1-p=1-0,3=0,7 

       4!/0!·4!·(0,3)⁰·(0,7)⁴=0,24

       4!/1!·3!·0,3·(0,7)³=0,41

       4!/2!·2!·(0,3)²·(0,7)²=0,26

       4!/3!·1!·(0,3)³·0,7=0,0756

       4!/4!·0!·(0,3)⁴·(0,7)⁰=0,081 

      Контроль: 0,24+0,41+0,26+0,0756+0,081=1 

      Напишем закон распределения Х:

      таблица 6 

 

      Ответ: Закон распределения вычислен и занесен в таблицу 6. 

      Задача 6.7

      Случайная величина Х задана функцией плотности  вероятности.

     0,      

f(x)= x/k,  0<x

R,

                  0,         x>R   
 

     Найти функцию распределения F(x) случайной величины x. Построить графики функций f(x) и F(x).Вычислить для x её среднее значение М(x), дисперсию Д(x), моду М_о. 

      Решение: Значение параметров K и R вычислить по следующим формулам: 

      K=2+V                                               R=2∙K

      K=2+25=27                                        R=2∙27=54

 

                       0,   x ≤ 0

       f(x)=     < x ≤

                       1,   x >  
 
 

                  

   

    0,     x ≤ 0,

      F(x)=     ,  0 < x ≤ ,

                   1,       x >  

      

        

      

        

      Ответ: График функции f(x) Рис.4

                    График функции F(x) Рис.5

                  

             D(X)=26,29

             

             M_e(X)=5,2 

      Задача 7.7

      Случайная величина Х задана функцией распределения 

        

       0,          

F(x)=   x/k,      0<x

K,

                       0,       x > K   

      Найти функцию плотности вероятности  f(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х её среднее значение М (х), дисперсию  D(X) и моду M₀. 

      Решение: Значение параметра К вычислялись по формуле:

K=3+V

K=3+25=28 

              

                      0,    x ≤ 0,

         f(x)=      0 < x ≤28,

                      0,    x > 28 

      

      D(X)=

       

       M_e(X)=M(X)=14   

      Ответ: График функции f(x) Рис. 6

                   График функции F(x) Рис. 7

                     

                   M_е(X)=14 

      Задача 9.9

      По  выборке А решить следующие задачи:

    - составить  вариационный ряд;

    - вычислить  относительные частоты и накопленные  частности;

    - построить  графики вариационного ряда (полигон  и гистограмму);

    - составить  эмпирическую функцию распределения;

    - построить  график эмпирической функции распределения;

    - вычислить  числовые характеристики вариационного  ряда;

- моду М_о;

- медиану М_е. 

  Решение:

  2 2 1 3 4 2 1 1 3 3 4 3 2 4 2 1 4 3 1 4

  0 4 2 3 4 3 7 1 3 3 3 4 3 2 1 2 3 3 1 5

  3 0 2 1 2 3 0 0 3 6 2 4 3 4 2 4 1 2 0 3

  1 0 0 2 

        Начало первого интервала: 0. Длина интервала: 1

таблица 7 

                

           

       0,                  x ≤ 0

                           0,109375,     0 < X ≤ 1

                           0,28125,       1 < X ≤ 2

      F^*(x)  =    0,5 ,              2 < X ≤ 3

                           0,78125,       3 < X ≤ 4

                           0953125,      4<X≤5

                           0,95875,       5<X≤6

                           0,9844125,   6<X≤7

                           1   ,               x<7

      n_max = 18, поэтому модой является  значение с максимальной частотой, т.е. М_о=3 при х = 3. Серединный элемент 32 или 33, поэтому М_е = 3 при х = 3. 

      Ответ: Вариационный ряд таблица 7

                    Относительные частоты таблица  7

                    Накопленные частоты таблица  7

                    Полигон вариационного ряда выборки А Рис. 5

                    Гистограмма вариационного ряда  выборки А Рис. 6

                    График эмпирической функции  распределения Рис. 7

                    М_о = 3, М_е = 3 

      Задача 10.9

      По  выборке А решить следующие задачи:

    - составить  вариационный ряд;

    - вычислить  относительные частоты и накопленные  частности;

    - построить  графики вариационного ряда (полигон  и гистограмму);

    - составить  эмпирическую функцию распределения;

    - построить  график эмпирической функции  распределения;

    - вычислить числовые характеристики вариационного ряда;

- моду М_о;

- медиану М_е. 

  Решение:

  61 59 60 50 58 71 57 61 55 75 68 65 63 68 60

  66 52 70 69 62 58 56 54 65 61 67 64 58 61 64

  71 60 51 54 57 56 55 57 65 56 61 49 67 64 59

  65 63 72 67 54 53 58 69 63 66 55 57 68 53 61