Общая теория стастистики

тыс. руб.

При расчете  средней групповой по серединам  интервалов допускается некоторая  неточность, поскольку делается предположение  о равномерности распределения  единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже  интервал и чем больше единиц в  интервале.

Правильный  расчет общей средней величины возможен, если каким-либо способом удается получить среднее значение признака по каждой группе. Если же среднее значения признака в группах определить по имеющимся  сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получая в итоге некоторое, чаще всего вполне удовлетворительное, приближение к среднему значению.

В современных  условиях развития рыночных отношений  в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей  социально-экономических явлений.

Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней  арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего  показателя.

 

1.3 Определим  моду и медиану  факторного признака по интервальному ряду значений первичной группировки.

 

Для интервальных рядов распределения с равными  интервалами мода определяется по формуле:

,

где Х_о – начало модального интервала;

       i_о – длина модального интервала;

       f_m – частота модального интервала;

       f_m-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

       f_m+1 - частота интервала, следующего за модальным.

По данным таблицы 3 (границы интервалов по факторному признаку) наибольшее число фирм (10) имеет численность производственного персонала от 685 до 830 Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем  следующие обозначения:

Х_о=685;     i_о=145;

f_m=10;               f_m-1=3;

f_m+1=2.

Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления:

Итак, модальным  значением численности производственного персонала является численность 753 чел.

Определим моду графическим способом

 

Рис. 1 Мода

Мода  широко используется в статистической практике при изучении покупательского  спроса, регистрации цен и т.д.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

,

где Х_е – начало медианного интервала;

       i_e – величина медианного интервала;

       N – количество фирм;

     S_e-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

      f_e - частота медианного интервала.

Определим медианный интервал. Для этого  воспользуемся данными таблицы 3. В данном случае сумма накопленных частот: 22 - соответствует интервалу 685-830. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле. Известно, что:

Х_е =685;       i_e =145;

N =30;                S_e-1 =12;

f_e =10.

Следовательно,

.чел.

Полученный  результат говорит о том, что  из 30 фирм 15 фирм имеют  менее 728,5 чел. Производственных работников, а 15 фирм – более.

Медиана находит практическое применение в  маркетинговой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсолютного  отклонений чисел ряда от медианы  есть величина наименьшая:

.

Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения общей средней, совпадая с ней только в случае симметричного  распределения частот вариационного  ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Использование в анализе вариационных рядов  распределения рассмотренных выше характеристик позволяет более  глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Распределение асимметричное (М_о≠М_е≠Х_общ).

 

1.4  На одном и том же поле  графика построить эмпирическую и теоретическую линию регрессии зависимости результативного признака от факторного.

Эмпирическую  линию регрессии строим по групповым  средним значениям факторного и  результативного признаков (рисунок  3).

Также построим точечный график по исходным данным (рисунок 2).

Для построения теоретической линии регрессии  зависимости результативного признака от факторного произведем дополнительные расчеты.

В основе зависимости лежит прямолинейная  связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

=a+bх,

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a, b – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения прямой a, b определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

 

 

 

;    

                         

.

Определив значения a, b уравнения регрессии рассчитываем теоретическую линию регрессии путем подстановки значений х в уравнение корреляционной связи: =-980,2+ 2,5х

Для наглядности  параметров уравнения регрессии  строим расчетную таблицу.

Таблица 6 – Расчетная таблица

XK	YK	XK2	XK*YK
474	175,87	224676	83362,4	204,8
597	521,83	356409	311533	512,3
766	844,83	586756	647140	934,8
838	1175,2	702244	984818	1114,8
944	1507,5	891136	1423080	1379,8
1212	1971	1468944	2388852	2049,8
4831	6196,23	4230165	5838784	6196,3

 
    Параметры уравнения связи определены  правильно, т.к. ∑y=∑ =6196,3

Уравнение связи  показывает зависимость суммы внереализационных расходов от численности производственных рабочих.

Коэффициент регрессии а₁ уточняет связь между х и y. Он показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на единицу. В данном случае b=2,5. Значит, при увеличении численности работников на 1 чел. сумма внереализационных расходов в среднем должна  увеличиться на 2,5 тыс. рублей.

Для уточнения  формы связи между рассматриваемыми признаками используем графический  метод.

 

Рисунок 2 –Эмпирическая и теоретическая линия регрессии зависимости результативного признака от факторного.

1.5. Рассчитать коэффициент вариации для факторного и результативного признака и охарактеризовать однородность статистической совокупности.

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

,

.

Среднеквадратические  отклонения и рассчитываются по формулам:

,

 

.

Таким образом, коэффициенты вариации равны:

 

(%),

(%).

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков  совокупностей. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна  совокупность по своему составу и  тем менее представительна средняя.

Так как  и ≥33%, то статистическая совокупность значений факторного и результативного признаков  не является  однородной.

 

1.6 С вероятностью Р, заданной в таблице 3, определить возможные пределы изменения общих средних величин факторного и результативного признаков, найденных выше. При этом следует учесть, что выборка, состоящая из 30 предприятий, получена из генеральной совокупности путем 10 %-го случайного бесповторного отбора.

Значения: t=2,7; Р=F(t)=09931.

Определим среднюю ошибку выборки для бесповоротного отбора:

 

,

где - средняя ошибка выборочной средней;

       - дисперсия выборочной совокупности;

       n – численность выборки;

       N – объем генеральной статистической совокупности, т.е. совокупности, из которой извлечена выборка, объемом n=30.

N=300.

.

 

Для результативного  признака средняя ошибка выборки  определяется аналогично:

,

.

 

Предельная  ошибка ∆ выборки для факторного и результативного признаков  определяется по формулам:

,

,

где ∆_х , ∆_y – предельная ошибка выборки;

μ_х , μ_y – средняя ошибка выборочной средней;

t – коэффициент доверия, зависящий от значения вероятности (Р).

 

∆_х=2,7×41,2=111,24

 

∆_y=2,7×102,78=277,51

 

Пределы, в которых находится данная выборочная средняя, определяются по следующей  формуле:

,

где - числовые значения пределов;

       - среднее значение выборочной совокупности;

        ∆ - предельная ошибка выборки.

Определим эти пределы:

=738-111,24=626,76

 

=738+111,24=849,24

 

=782,8-277,51=505,29

 

=782,8+277,51=1060,31

 

Таким образом, возможные пределы изменения  средних величин факторного признака от 626,76 до 849,24.  Для результативного признака – от 505,29 до 1060,31.

 

2. Задание

2.1 По данным табл.4 и табл.5 определить  вид рядов динамики (интервальные  или моментные). Согласно трем  последним цифрам зачетной книжки  студента выбрать по одному  ряду и рассчитать для каждого  ряда средние уровни.

Таблица 7 – Динамика инвестиций, тыс.руб.

№ ряда	Дата
	1 янв	1 фев	1 мар	1 апр	1 мая	1 июн	1 июл	1 авг	1 сен	1 окт
12	120	144	344	488	741	1233	1340	1900	3247	5260

Данный ряд динамики является моментным  рядом с равностоящими датами, так как исходные данные представлены на опредёлённый момент времени, то есть на дату

Для моментных  рядов динамики с равностоящими  датами уровень за период времени  определяется по формуле средней  хронологической.

Таблица 8 – Динамика чистой прибыли, тыс.руб.

№ ряда	Годы
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
12	120	144	344	488	741	1233	1340	1900	3247	5260