Распределение случайных величин и их характеристики

Федеральное агентство по образованию

Государственное учреждение высшего  профессионального  образования

Тюменский государственный  нефтегазовый университет

Сургутский  институт нефти и  газа (филиал)

Кафедра экономики и менеджмента 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине: «Общая теория статистики» 

тема: Распределение случайных  величин и их характеристики.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка: группа ЭП-08

Толомеева Олеся

Проверил:  к.э.н., доцент Орлов О.И.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Сургут, 2009 г. 

 

Содержание: 
Введение.

      Случайной величиной (СВ) Х называется действительная функция X = X(w), определенная на множестве элементарных исходов W, такая, что для любого действительного x множество тех w Î W, для которых X(w) < x, принадлежит полю событий W(W). СВ принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами. Введение.

      Различают СВ дискретного типа (сокращенно СВДТ) и СВ непрерывного типа (сокращенно СВНТ). СВ называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например, число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игрального кубика. СВ называется СВНТ, если множество ее возможных значений заполняют интервал числовой оси. Например, время до отказа прибора (время “жизни” прибора) или погрешность измерения.

      Для полного задания СВ необходимо указать  множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями x_i (или некоторыми подмножествами) и вероятностями p_i, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называется законом распределения СВ. Например, для СВДТ достаточно указать зависимость p_i = P{X = x_i} или таблицу следующего вида: 

 

Для СВНТ такие способы не годятся, поэтому  ставят в соответствие вероятности  не отдельные значения СВ, а множество  значений (X < x), где x - произвольное число. Этот способ годится для СВДТ и для СВНТ. 

      Функцией  распределения (ФР) (или интегральным законом распределения) СВ X называется числовая функция F(x) = P{X < x}, определенная для любых x Î R. Свойства ФР:

1. 0 £ F(x) £ 1;
2. F(x₁) £ F(x₂), если x₁ < x₂, т.е. F(x) - неубывающая функция;
3.  
4. P{a £ X < b} = F(a) - F(b).

      Плотностью  распределения (ПР) (или дифференциальным законом распределения) СВ X называется числовая функция f(x), равная производной от ФР, если такая производная существует: f(x) = F¢(x). Связь между ПР и ФР можно представить в интегральной форме:

 что позволяет определить  ФР:

Свойства  ПР:

1. f(x) ³ 0, т.к. ФР - неубывающая функция;
2. - условие нормировки.

     Различают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения (математическое ожидание), рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показатель асимметрии, эксцесса и др.).

 

1. Числовые характеристики случайных величин.

     Каждая  случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

     В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько  числовых параметров, которые позволяют  представить основные особенности  случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия. 

1.1. Математическое ожидание случайной величины.

     Математическое  ожидание - число, вокруг которого сосредоточены  значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .

     Математическое  ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение 

 

называется  величина     , если число значений случайной величины конечно.

     Если  число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

     Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

     Если  случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то

     Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

Основные  свойства математического ожидания:

     -математическое  ожидание константы равно этой  константе, Mc=c ;

     -математическое  ожидание - линейный функционал на  пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

     -математическое  ожидание произведения двух независимых  случайных величин равно произведению  их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ). 

1.2. Дисперсия случайной величины.

     Дисперсия случайной величины характеризует  меру разброса случайной величины около  ее математического ожидания.

     Если  случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной  величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.

     Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.

     Эта универсальная формула одинаково  хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для  непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

, .

     Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное  с дисперсией соотношением

     Основные  свойства дисперсии:

     -дисперсия  любой случайной величины неотрицательна, Dx  0;

     -дисперсия  константы равна нулю, Dc=0;

     -для  произвольной константы D(cx ) = c2D(x );

     -дисперсия  суммы двух независимых случайных  величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ). 

1.3. Моменты.

     В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

     Начальным моментом k-го порядка случайной  величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k.

     Центральным моментом k-го порядка случайной  величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k.

     Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,

     a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx .

     Существуют  формулы, позволяющие выразить центральные  моменты случайной величины через  ее начальные моменты, например:

     m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13.

     Если  плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты  нечетного порядка равны нулю.

1.4. Асимметрия.

     В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой

      ,

     где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение. 

1.5. Эксцесс.

     Нормальное  распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

     Эксцесс g случайной величины x определяется равенством

.

     У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что  график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения. 

1.6. Среднее геометрическое и среднее гармоническое.

     Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.

     Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .

     Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на [a, b], 0 < a < b, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:

 и  .

     Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .

     Название  “среднее геометрическое” происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение