Распределение случайных величин и их характеристики

 

     Среднее геометрическое, вычисляется следующим  образом:

,

т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел a1, a2, …, an.

     Например, среднее геометрическое случайной  величины, имеющей показательное распределение с параметром l , вычисляется следующим образом:

, .

Здесь С » 0.577 - постоянная Эйлера. 
 
 
 

2. Распределения дискретных случайных величин.

2.1. Биномиальное распределение.

     Пусть проводится серия из n независимых  испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину x , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли:

, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n, npq, . 

2.2. Геометрическое распределение.

     Со  схемой испытаний Бернулли можно  связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого  успеха. Эта величина принимает бесконечное  множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой

pk = P(x= k) = qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , ,  ,  . 

2.3. Гипергеометрическое распределение.

     В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных  изделий. Если случайным образом  из всей партии выбрать контрольную  партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:

 ,k = 0, 1, …, min(n,M), , , . 

2.4. Пуассоновское распределение.

Пуассоновское распределение c параметром l имеет случайная величина x , принимающая целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями pk:

, , Mx =l, Dx = l , l > 0 - параметр распределения. 

3. Распределения непрерывных случайных величин.

3.1. Равномерное распределение.

     Непрерывная случайная величина x , принимающая  значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность  распределения px (x) и функция распределения Fx (x ) имеют соответственно вид:

, , , . 

3.2. Экспоненциальное (показательное) распределение.

     Непрерывная случайная величина x имеет показательное  распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные  значения, а ее плотность распределения px (x )и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид:

, ,  , . 

3.3. Нормальное распределение.

     Нормальное  распределение играет исключительно  важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

     Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s , s >0, если ее плотность распределения px (x ) и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид:

, , Mx = a, Dx = s 2.

     Часто используемая запись x ~ N(a, s ) означает, что случайная величина x имеет  нормальное распределение с параметрами a и s .

     Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:

, ,Mx = 0, Dx = 1.

Здесь - функция Лапласа.

     Функция распределения нормальной величины x ~ N(a, s ) выражается через функцию Лапласа следующим образом: .

     Если x ~ N(a, s ), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной или  нормированной случайной величиной; h ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение. 

3.4. Распределение хи-квадрат (c ²- распределение).

     Пусть x ₁, x ₂, …, x _n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину

c ² = x ₁² + x ₂² + …+ x _n².

     Ее  закон распределения называется c ²- распределением с n-степенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, , Dc 2=2n.

Здесь - гамма-функция Эйлера. 

3.5. Распределение Стьюдента.

Пусть случайная величина x имеет стандартное  нормальное распределение, а случайная величина c _n² - c ²-распределение с n степенями свободы. Если x и c _n² - независимы, то про случайную величину говорят, что она имеет распределение Стьюдента с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, x R, Mt _n = 0, Dt _n = n/(n-2), n>2. 

При больших  n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0, 1). 

3.6. F-распределение Фишера.

     Пусть случайные величины c _n²и c _m² независимы и имеют распределение c ² с n и m-степенями свободы соответственно. Тогда о случайной величине

говорят, что она имеет F-распределение. Плотность  вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, x>0, - гамма-функция Эйлера; , m>2; , m > 4. 

3.7. Распределение Парето.

     Распределение Парето часто применяется в экономических  исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид:

  , .

     Распределение Парето имеет математическое ожидание только при r > 1, а дисперсию - только при r > 2. Случайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x x0, x0 > 0. 

3.8. Логистическое распределение.

     Это еще одно распределение, широко применяемое  в экономических исследованиях. Для случайной величины x , имеющей  логистическое распределение, функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

, ,

, , x R, a и b - параметры распределения.

По своим  свойствам логистическое распределение  очень похоже на нормальное. 

3.9. Логнормальное распределение.

     Случайная величина x имеет логарифмическое  нормальное (логнормальное) распределение  с параметрами a и s , если случайная  величина lnx имеет нормальное распределение  с параметрами a > s . Функция распределения  и функция плотности вероятностей логнормального распределения имеют соответственно вид:

, , , . 

3.10. Бета-распределение.

     Случайная величина x имеет В-распределение (бета-распределение) с параметрами a₁ и a₂, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

 

3.11. Распределение Вейбулла.

     Случайная величина x имеет распределение Вейбулла с параметрами l 0 и a , если ее функция  распределения и функция плотности  вероятностей имеют соответственно вид:

, ,

, - гамма-функция Эйлера. 

3.12. Распределение Коши.

     Случайная величина x имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

     У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка. 

3.13. Гамма-распределение.

     Случайная величина x имеет Г-распределение (гамма-распределение) с параметрами a и b, если ее функция  плотности вероятностей имеет вид:

, a > 0, b > 0, , , .

3.14. Распределение Лапласа.

     Случайная величина x имеет распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное распределение) с параметром l , если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

-  < x < , Mx = 0, D x = 2/l ². 

4. Совместные  распределения нескольких случайных величин.

4.1.Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.

Функцией  распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством

где .

     По  известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .

     Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:

, .

     В дальнейшем будем рассматривать  двумерные случайные векторы.

Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W  на плоскости вероятность события равна:

.

     Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения. 

Легко показать, что  .

     Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:

и

     Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин  и   чаще всего называют таблицу вида:

где и .

По этой таблице можно найти распределения и компонент x и h . Они вычисляются по формулам:

 

4.2. Независимость случайных величин.

     Решить  обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение (x , h ) по распределениям величин x и h , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины x и h независимы.