Распределение случайных величин и их характеристики

     Случайные величины x и h называются независимыми, если для любых x₁, x₂  R² справедливо равенство:

F_{x ,h} (x₁, x₂)= F_x (x₁)F_h ( x₂).

     Для непрерывных случайных величин  это определение эквивалентно следующему:

случайные величины называются независимыми, если

p_{x ,h} (x₁, x₂)= p_x  (x₁) p_h (x₂)

во всех точках непрерывности входящих в  это равенство функций.

     Для дискретных случайных величин x и h с  матрицей совместного распределения {p_ij} условие независимости x и h имеет вид:

p_ij = P(x = xi, h = yj) = P(x = xi) P(h = yj),

для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. 

4.3. Условные распределения случайных величин.

     Если  две случайные величины x и h зависимы, то информация о том, какое значение на самом деле приняла одна из них, меняет наше представление о распределении  другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения. 

4.4. Условные распределения дискретных случайных величин.

Пусть дана двумерная случайная величина (x ,h ) с распределением:

 

     Тогда распределения случайных величин x и h имеют соответственно вид:

 
 

точка · в индексе означает суммирование по строкам или по столбцам:

, .

Условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:

 

     Нетрудно  убедиться, что сумма вероятностей величины в этом распределении равна единице:  для всех j = 1, 2, …, m.

     Совершенно  аналогично условным распределением случайной  величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:

И  для всех i = 1, 2, …, n.

     Если  условные распределения случайных величин x и h отличаются от их безусловных распределений, то случайные величины x и h зависимы. 

Условные  распределения непрерывных случайных  величин.

     Если  - плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины , то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

, .

     Условной  плотностью распределения случайной  величины x при условии, что случайная  величина h принимает значение h = y0, называется функция переменной x, определяемая формулой:

.

     Аналогично, условной плотностью распределения случайной величины при условии, что случайная величина x принимает значение x = x0, называется функция переменной y, определяемая формулой:

.

 

Заключение.

     Наряду  со случайными событиями, как фактами  в схеме испытаний, характеризующими её качественно, результаты опытов можно описать количественно. Это и ведёт к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы). Например, при бросании монеты «решка» — это 0, а «орел» — это 1; при бросании игральной кости результаты — суть номера граней от 1 до 6 и т. п.

     В бесконечных схемах (дискретных или  непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время  безотказной работы прибора при  контроле качества и т. п.

     Числовые  значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно  отдельные элементарные исходы в  схеме испытаний, но и соответствовать  каким-то более сложным событиям. С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно. Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

     Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

     На  схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая  система одномерных взаимосвязанных  случайных величин (многомерная/векторная). Перечень возможных значений (спектр) каждой одномерной случайной величины может быть как дискретным (конечным/бесконечным), так и непрерывным, а также комбинированным — в зависимости от характера распределения вероятностной массы материальных точек схем испытаний по значениям случайной величины.

 

Список литературы.

1. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. - 4- изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Бамина О.Э., Спирин А.А. Общая теория статистики. Изд-во Финансы и статистика, 2005. ― 440 с.
3. Бочаров.В.Б. Финансовый анализ. - СПб: Питер, 2004. - 240  с.
4. Гинсбург А.И. Экономический анализ. - Спб.: Питер, 2003. - 480 с.
5. Ефимова М.Р., Румянцев В.Н., Петрова Е.В. Общая теория статистики. Учебник. ― М.: Инфра-М, 2005, с. 94.
6. Завьялова З.М. Теория экономического анализа. Курс лекций. - М.: Финансы и статистика, 2002.
7. Крамер Г.  Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. – 507 с.
8. Табурчак П.П., Викуленко А.Е., Овчинникова Л.А. и др. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия.
9. Толстова Ю.Н. Анализ социологических данных..
10. Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.П. Табурчака, В.М. Туина и М.С Сапрыкина. - Ростов н/Д: Феникс, 2002.