Ряды распределения, корреляционно-регрессионный анализ

 

     10,6926*2+5,1529*3+1,6126*4+2,9929*2+13,9129+32,8329*2=128,8768

     4+4=8

     (48-48)²=0

     4+0+4=8

     (65-65)²=0

     9+0+1+4=14 

     Межгрупповая  дисперсия (d²) характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака фактора, положенного в основу группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней: 

     

     Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, обусловленную влиянием неучтенных факторов и независимую от признака фактора, положенного в основу группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия. 

     

       

     Общая дисперсия для не сгруппированных данных:

     

       =[(27-46,2)^2*2+(28-46,2)^2*3+(29-46,2)^2*4+(30-46,2)^2+(32-46,2)^2*2+(34-46,2)^2+(36-46,2)^2*2+(37-46,2)^2+(41-46,2)^2+(48-46,2)^2*2+(58-46,2)^2+(60-46,2)^2*3+(62-46m2)^2+(65-46,2)^2*2+(79846,2)^2+(82-46,2)^2+(83-46,2)^2+(84-46)^2]/30=10862,8/30=362 

    Согласно  правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равняется сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

    

5,3+356,7=362 
 
 

    Коэффициент детерминации представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей.

    

 

 

    Эмпирическое  корреляционное отношение: 

    

    

 

    Характеризуем силу связи между значением признака и распределения по группам.

8. Вывод: создание интервального вариационного ряда из 6 групп с интервалом i=9,5 позволило определить, что при общем диапазоне значений от 27 до 84 тыс.ден.ед. большая часть квартир (50%) имеют общую стоимость от 27 36,5тыс.ден.ед.. Особенности распределения наглядно отображены на рисунках (рис.1.1-1.3).

     Средняя стоимость составила 36,5тыс.ден.ед. Наиболее распространенной стоимость стала 32,09тыс.ден.ед.

     Половина  квартир имеет стоимость меньше, чем 36,5тыс.ден.ед., половина – больше.

     Вариация  общей стоимости характеризуется  показателями:

• Размах вариации 57
• Среднее линейное отклонение 16,3
• Среднее квадратичное отклонение 17,9

     Коэффициент вариации свидетельствует о качественной неоднородности совокупности.

     Согласно  критериям оценки тесноты связи  Чеддока между денежным доходом  и распределением домохозяйств по группам  существует весьма очень тесная связь. 
 
 

     Задание №2

     В соответствии с данными аудиторского отчета о деятельности 12 коммерческих банков, установлена зависимость между размером кредитной ставки и прибыльностью кредитных операций:

 

     С помощью методов корреляционно-регрессионного анализа определим наличие и  характер статистической связи между  кредитной ставкой и прибыльностью  кредитных операций.

Таблица 2.1.

     Исследование  статистической связи между признаками «кредитная ставка» и «прибыльность от кредитных операций» для группы банков.

 
 
  

1. исходя  из этих данных выберем форму регрессии  в виде однофакторной модели зависимости  прибыльности кредитных операций от кредитной ставки.

     Сравнив средние значения результативного признака по группам, можно сделать вывод, что увеличение кредитной ставки приводит к увеличению прибыльности кредитных операций, то есть можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками.

     Итак, между x и y существует прямая зависимость. В основе этой зависимости лежит прямолинейная связь, что может быть выражено простым линейным уравнением регрессии: .  Пользуясь расчетными значениями (см. табл. 2.1.), определим параметры для данного уравнения регрессии:

2. вычислим параметры уравнения:

Параметры уравнения: =1,1905 

             (2.1.)

                      (2.2.)

Расчет параметра  a можно проверить с помощью уравнения:

где:

(%) ;    (2.3.)

 (%);   (2.4.)

Отсюда:

=29,33-1,19·64=-46,83      (2.5.)

Уравнение регрессии  имеет вид: Y=-46,86+1,19*x   (2.6.)

Результаты промежуточных  расчетов приведены в таблице 2.1.

3. оценим тесноту связи:

Коэффициент детерминации. В модели аналитической группировки  мерой тесноты связи является отношение факторной дисперсии  к общей, которое называют эмпирическим коэффициентом детерминации:

     

       (2.7.)

     где δ² – факторная дисперсия:

     

= = 9,92    (2.8.)

     s² – общая дисперсия:

     

= = 24,22     (2.9.)

      = 9,92 / 24,22 = 0,4096.   (2.10.)

Корреляционное  отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Может принимать значения от 0 до 1. чем выше значение, тем более функциональной является зависимость между показателями, теснее связь.

Коэффициент корреляции:

.  (2.11.)

0,64.

 Согласно  качественной оценке тесноты  связи Чеддока, в данном случае  существует заметная сила связи  между ставкой кредита и прибыльностью  кредитных операций.

4. проверим значимость коэффициента регрессии с вероятностью 0,95.

При численности  объема анализа до 30  единиц возникает  необходимость проверки значимости.

     Проверку  значимости уравнения регрессии  можно выполнить на основе вычисления F-критерия Фишера:

      ,          (2.12.)

     где m – число параметров в уравнении регрессии (=2);

     n – количество исследований (=12).

     Определяем F_табл  по таблице для вероятности 0,95. Степени свободы зависят от числа параметров уравнения регрессии: k₁=m-1 и количества единиц исследуемой совокупности: k₂=n-m.

       Для k₁=1, k₂=10   F_табл=4,96

     F_расч.=0,4096/(1-0,4096)*(12-2)/(2-1)=6,9367.

Поскольку F_расч.= 6,9367 больше критического F_табл=4,96, что подтверждает существенность корреляционной связи, то уравнение регрессии

Y=-46,86+1,19*x следует признать адекватным в 95 случаях из 100.

5. определим коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности показывает средние изменения результативного  признака при изменении факторного признака на 1%:

   (2.13.)

Ý=1,19*64/29,33=2,5974. 

Выводы:

     Было  сделано предположение относительно наличия линейной связи между кредитной ставкой и прибыльностью кредитных операций. В результате такого предположения было составлено уравнение регрессии:

Y=-46,86+1,19*x, которое свидетельствует, что с увеличение кредитной ставки прибыльность кредитных операций тоже увеличивается. Увеличение кредитной ставки, в соответствии с исходными данными, на 1% приводит к увеличению прибыльности кредитных операций на 1,19%.

     Коэффициент детерминации равен 0,4096. Исходя из этого, можно предположить, что 40,96% общей вариации прибыльности кредитных операций было обусловлено вариацией фактора – размером кредитной ставки, а 59,04% (100-40,96) – общей вариацией по причине действия других факторов.